Existenzaussage mit dem Axiom des Eudoxos beweisen

20.05.2005, 16:32

VinSander82

Existenzaussage mit dem Axiom des Eudoxos beweisen

Zeigen Sie mit Hilfe des Axioms von Eudoxos, dass es zu gegebenen positiven Zahlen M, € und r mit r < 1/2 stets eine natürliche Zahl n gibt mit

Mr hoch n < €

Für welche r mit r > oder = 1/2 ist diese aussage falsch?

Ich versteh nicht wie ich das anfangen soll oder was Axioms des Eudoxos bedeutet , kann mir da jmd. helfen bitte

20.05.2005, 21:00

Mathespezialschüler

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Geteilt und Verschoben

Hallo!
Was hat deine Frage denn bitte mit der Aufgabensammlung zu tun?? Das ist mir leider nicht verständlich. Ich hab es mal davon abgetrennt!
Bitte benutze den Formeleditor, um Formeln darzustellen!
Ich versuche einmal, deine Aufgabe zu reproduzieren. Leider hast du keine Klammern gesetzt, weswegen ich nicht weiß, ob du $\begin{eqnarray*} (Mr)^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} Mr^n \end{eqnarray*}$ meinst! Ich nehme mal an letzteres!

"Zeigen Sie mit Hilfe des Axioms von Eudoxos, dass es zu gegebenen positiven Zahlen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ stets eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} Mr^n<\epsilon \end{eqnarray*}$

Für welche $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist diese aussage falsch?"

Und jetzt kannst du das erstmal vereinfachen: Wir teilen durch M:

$\begin{eqnarray*} r^n<\frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$

Es reduziert sich nun darauf zu gegebenen positiven $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu finden, für die

$\begin{eqnarray*} r^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$

bleibt. Warum es darauf reduziert werden kann, kannst du dir ja mal selbst überlegen! Und jetzt der entscheidene Tipp:
Aus $\begin{eqnarray*} r<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} r^n<\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ und den letzten Bruch musst du nur noch $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ bekommen, was mit dem angesprochenen Axiom klappen sollte.

Übrigens: Für welche $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ geht denn $\begin{eqnarray*} a_n:=r^n \end{eqnarray*}$ gegen 0? Für diese n muss es dann trivialerweise auch solch ein n geben. Wahrscheinlich kannst du das hier nicht als Begründung benutzen, weil ihr die Konvergenzaussage wohl noch nicht hattet, aber so siehst du zumindest, für welche $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ das klappt!

Gruß MSS

27.05.2005, 12:16

VinSander82

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Danke MSS, ich hab mir das oft durchgelesen, versteh das noch nicht so richtig...

werde mir das aber nochmal durchlesen, hab ja noch bis next MIttwoch zeit.

Grüß Gott

LG VinSander

27.05.2005, 20:43

Mathespezialschüler

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Hallo!
Wenn du mir sagst, was du nicht verstanden hast, kann ich dir das ja auch nochmal genauer erklären! Augenzwinkern

Gruß MSS

28.05.2005, 02:05

sqrt(2)

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Ich kenne mich in der Materie jetzt nicht wirklich aus, also verzeihe man mir, wenn ich jetzt eine dumme Frage stelle...

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} r^n<\frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$

Es reduziert sich nun darauf zu gegebenen positiven $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu finden, für die

$\begin{eqnarray*} r^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$

bleibt. Warum es darauf reduziert werden kann, kannst du dir ja mal selbst überlegen!

Genau das frage ich mich. Wenn $\begin{eqnarray*} M \in K \end{eqnarray*}$ für einen Körper K, dann sieht es für mich so aus, als sei diese Reduktion unzulässig für $\begin{eqnarray*} M < e \end{eqnarray*}$ , wenn e das neutrale Element der Multiplikation in K ist. Wieso kann man denn nun doch so reduzieren?

28.05.2005, 13:17

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Wenn $\begin{eqnarray*} M \in K \end{eqnarray*}$ für einen Körper K, dann sieht es für mich so aus, als sei diese Reduktion unzulässig für $\begin{eqnarray*} M < e \end{eqnarray*}$ , wenn e das neutrale Element der Multiplikation in K ist.

Ich befürchte, da liegt ein Missverständnis in der Schreibweise vor. Aber bevor ich dir sage, was ich mir da überlegt hab, kannst du ja mal sagen, warum du denkst, dass das für $\begin{eqnarray*} M<e \end{eqnarray*}$ nicht geht!?
Übrigens: Wenn du in einem Körper eine Ungleichung hinschreibst, dann solltest du auch vorher sagen, dass der Körper als angeordnet vorausgesetzt wird. Augenzwinkern

Gruß MSS

28.05.2005, 18:43

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
kannst du ja mal sagen, warum du denkst, dass das für $\begin{eqnarray*} M<e \end{eqnarray*}$ nicht geht!?

Mir ist gerade aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nicht dasselbe sind. Damit ist es natürlich klar und ich entschuldige mich für die dumme Frage...

28.05.2005, 19:00

Mathespezialschüler

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Das habe ich vermutet - deswegen sprach ich von einem Missverständnis Augenzwinkern

Übrigens hätte es für $\begin{eqnarray*} M<e \end{eqnarray*}$ sehr wohl geklappt, für $\begin{eqnarray*} M>e \end{eqnarray*}$ wäre es problematisch geworden.

Gruß MSS

28.05.2005, 19:10

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Übrigens hätte es für $\begin{eqnarray*} M<e \end{eqnarray*}$ sehr wohl geklappt, für $\begin{eqnarray*} M>e \end{eqnarray*}$ wäre es problematisch geworden.

Hm... vielleicht sollte ich nächstes Mal früher schlafen gehen. Augenzwinkern

Dankeschön jedenfalls.

05.06.2005, 16:08

VinSander82

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@ Mathespezialschüler

Danke dir , ich glaube ich muss echt noch verdammt viel nachholen...

Aber ich versuchs erstmal so, ich werde aber auf dein Angebot zuruckgreifen..

Peace

LG Vinsander82

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