Kugel-Berechnung |
| 21.05.2005, 13:21 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kugel-Berechnung habe hier folgende Aufgabe: Der Punkt D(-16|-8|-2) ist Mittelpunkt der Kugel K, welche die Ebene berührt. Zeigen sie, dass K die folgende Gleichung hat: Berechnen sie die Koordinaten des Berührpunktes von K und E. Ermitteln sie eine Gleichung der zu E parallenen Tangentaileben an K. jetz weiß ich nicht so recht wo ich ansetzen soll... am besten beim radius, oder? aber wie berechnet man den abstand zwischen einem punkt und einer ebene...? am besten noch mit lotfußpunkt....? |
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| 21.05.2005, 13:53 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kugel-Berechnung hnf der ebene erstellen, punkt einsetzen = radius, ausmultiplizieren werner nur dass es nicht stimmt 323 statt 315 mit diesen zahlen, da hat wohl jemand die normierung vergessen |
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| 21.05.2005, 13:57 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ist eine hnf??...sorry, ich kann dir nicht ganz folgen 
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| 21.05.2005, 14:11 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hnf = hessesche normalform der ebene wenn du die koordinaten eines punktes einsetzt, erhältst du seinen abstand von dieser ebene hier hast du siehe oben werner |
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| 21.05.2005, 14:53 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für deine hilfe. aber ich glaube, du hast dich irgendwo verrechnet, die koordinatenform der eben ist 2x-2y-z+5=0 und nicht 2x-2y+z+15=0 demnach komme ich dann auf einen radius von 3 und die gleichung aber nun verstehe ich nicht ganz, wie man auf die gesuchte form kommt. mir ist schn klar, dass es binomisch aufgelöst wird, aber wie kommt diese 315 zustande kommt? da muss doch der ortsvektor des mittelpunktes quadratiert werden, oder nicht? aber 16^2+8^2+4^2-9 ist bei mir 1287 und nicht 315... |
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| 21.05.2005, 14:57 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| antwort @Millhous: was hast du denn bis jetzt alles gemacht?? |
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| 21.05.2005, 15:02 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
umso besser, dann stimmt ja alles, aber da habe nicht ich mich verrechnet, sondern du hast eine falsche angabe gepostet: n3 = -1 statt n3 = +1 aber hauptsache, du hast es jetzt werner |
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| 21.05.2005, 15:04 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@brunsi also: ich habe die koordinatenform der ebene berechnet, damit ich das mit der HNF machen konnte, da habe ich dann den punkt D(-16|-8|-2) eingesetzt und habe dann einen radius (abstand vom punkt zur ebene) von 3 rausbekommen. das habe ich dann in der normalform der kugelgleichung verwurstet: K: [x-OV]²=r² und damit komme ich halt an die oben genannte gleichung. jetzt weiß ich nur nicht, wie ich von dieser gleichung auf die gesuchte komme, wahrscheinlich habe ich einfach nur ein brett vor dem kopf, denn eigentlich kann ich binomische formeln.... @wernerrin ups... sorry, das hatte ich nicht gesehen. aber danke trotzdem für deine hilfe, das mit der hnf kannte ich garnicht, aber ich glaube, in der klausur kann man da ziemlich viel zeit mit sparen... der nachteil: man kriegt dadurch nur den abstand und keinen lotfußpunkt, den ich später in dieser aufgabe ja auch noch brauchen werde.... |
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| 21.05.2005, 15:08 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe ich dir eh schon geschrieben: einfach ausmultiplizieren nach (a-b)^2 werner |
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| 21.05.2005, 15:16 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| antwort @Millhouse: fang das mal von der anderen seite an. wenn du die Kugelgleichung und die Tangentialebene hast und du sollst den Berührpunkt bestimmen, dann mach folgendes: 1. Stelle eine zur Tangentialebene orthogonal verlaufende Gerade auf, die durch den Kugelmittelpunkt geht. Dabei sit der Vektor des Kugelmittelpunktes dein Ortsvektor der orthogonalen Geraden und der Normalenvektor der Tangentialebene dein Richtungsvektor der orthogonalen Geraden. 2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Tangentialebene. Das ist dann der Berührpunkt der Tangentailebene mit der Kugel. edit: wenn du jetzt von deiner oben berechneten Kugelgleichung zu der gegebenen Kugelgleichung kommen willst dann musst du einfach jetzt ausmultiplizieren: so dann multiplizierts du einfach die Klammern aus und erhälst jweils x²-Werte, x_1,_2,_3-Werte und Werte ohne variable. Die werte ohne variable fasst du alle zusammen. die x_1 ,x_2,x_3-Werte geben dir die Koordinaten des VEktors x an. Hoffe das hilft, sonst fragen!! |
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| 21.05.2005, 22:55 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@brunsi vielen dank für den ansatz! habe es jetzt endlich hingekriegt, die ebene berührt die kugel in P(-14|-10|-3) (habe es auch nachgerüft 
). so, nun muss ich noch die dazu parallele ebene bestimmen, die ebenfalls die kugel berührt. den ortsvektor kann ich bestimmen, nur bei den richtungsvektoren bin ich mir unsicher: müssen das nicht die gleichen sein wie auch bei der anderen tangentialebene?//edit: mir ist grade aufgefallen, dass der vektor gleich dem normalenvektor der tangentialebene ist - ist das immer so oder war das jetzt nur zufall? |
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| 22.05.2005, 04:56 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist immer so, ist auch ein Normalenvektor der 2. Berührebene. parallele Berührebenen kannst auch mit der HNF, ohne den Berührpunkt ermitteln zu müssen. HNF der vorg. parallelen Ebene erzeugen, Kugelmittelpunkt einsetzen und den sich so ergebenden von Null versch. Wert (Abstand der Ebene vom Mittelp.) von der HNF subtrahieren. Die so geänderte HNF stellt nun die Gl. der parallelen Ebene durch den Kugelmittelpunkt dar. (Mittelpunkt erfüllt nun die HNF.Gl) Die beiden parallelen Berührebene erhälst nun ganz einfach indem du einmal den Radius zu der neuen HNF addierst und einmal subtrahierst. (warum sollte klar sein) Ich führs mal angedeutet vor: R=5 M(2;3;4) HNF; (ax1+bx2+cx3+z0)*1/sqrt(a^2+b^2+c^2)=0 Kugelmittelpunkt einsetzen (2a+3b+4c+z0)*1/sqrt(a^2+b^2+c^2) ==> d HNF für Ebene durch Kugelmittelp. (ax1+bx2+cx3+z0)*1/sqrt(a^2+b^2+c^2) - d =0 HNF Tangentialebebe 1 (ax1+bx2+cx3+z0)*1/sqrt(a^2+b^2+c^2) - d - R=0 HNF Tangentialebebe 2 (ax1+bx2+cx3+z0)*1/sqrt(a^2+b^2+c^2) - d + R=0 |
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| 22.05.2005, 12:42 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke, so in etwa hab ich das auch. jetzt fehlt noch eins: Es gibt 2 Kugeln mit dem Ursprung als Mittelpunkt die die Kugel K (das ist die eben berechnete) berühren. berechnen sie die koordinaten der brührpunkte und die Kugelradien. wenn ich mich nicht irre, müssten doch beide schnittpunkte auf der geraden durch den mittelpunkt und den ursprung liegen, oder? und diese gerade müsste ich dann nur noch mit der kugel schneiden... aber ist das wirklich so einfach? oder hab ich jetzt falsch gedacht und sie liegen garnicht auf der geraden...? |
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| 22.05.2005, 14:14 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist so einfach, evtl sogar noch einfacher. Bestimmst jene Gerade OM, normierst den nach M zeigenden Richtungsvektor und benutzt den Ursprung als Stützpunkt, das sieht dann so aus Verbesserung, das geht NOCH einfacher: den Ortsvektor M (Kugelmittelpunkt) nimmst als dein Richtungsvektor, den du nur noch normieren musst. Das ist gleichbedeutend mit der Division durch |OM| Gerade OM => s*(a;b:c) = 0 (a;b:c) der nach M zeigende normierte Richtungsvektor (= Vektor M / |OM|) nun bestimmst noch die Distanz d = |MO| (wenn du die nicht schon hast) (hast du schon wegen oben) Deine gesuchten beiden Berührpunkte sind nun einfach (d - R)*(a;b:c) und (d +R)*(a;b:c) fertig Edit: |
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