Lineare Abbildung

07.01.2008, 16:37

hxh

Lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R³ \rightarrow \mathbb R² ; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} xy \\ x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Handelt es sich um eine lineare Abbildung ?

Würde sagen nein, da die Abbildung nicht additiv ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ z+c \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} (x+a) *(y+b) \\ (x+a)+(y+b) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} xy \\ x+y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ab \\ a+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy+ab \\ x+y+a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

irgendwie ist das aber falsch aufgeschrieben ?

07.01.2008, 16:42

tmo

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du hast recht. die abbildung ist nicht additiv.
um das zu zeigen reicht ein gegenbeispiel.

07.01.2008, 16:46

hxh

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is das inhaltlich nicht richtig was ich aufgezeigt habe ? da liegt ja nicht dasselbe vor weil (x+a) * (y+b) = xy + xb + ay + ab ungleich xy+ ab

formal is das natürlich so schlecht aufgeschrrieben

07.01.2008, 16:51

tmo

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ja das ist schon richtig.

aber arbeite doch am besten mit

$\begin{eqnarray*} \phi(a+b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(a) + \phi(b) \end{eqnarray*}$ und zeige ungleichheit.

07.01.2008, 17:04

hxh

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ja stimmt schon, so wollte ich es auch machen dann.

Hab noch ne Frage . Soll die Abbildunge in einer Matrix darstellen. Wie berechnet sich dann das Bild der jeweiligen Abbildung ?

muss ich dann die Basis von R² $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wählen ?

Edit: ich kann ja hier eh keine Abbildungsmatrix aufstellen , da es keine lineare Abbildung ist Forum Kloppe

07.01.2008, 19:13

hxh

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so ja es gab noch ne lineare Abbildung , das hab ich nachgewiesen

$\begin{eqnarray*} \kappa: \mathbb R³ \rightarrow \mathbb R³ ; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto <br /> \begin{pmatrix} x+2y+z \\ x+z \\ -x+3y+4z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber wie bildet man nun die Abbildungsmatrix und berechnet das Bild der jeweiligen Abbildung.

Hatte zwarn Artikel aus Wikipedia, aber weiß trotzdem nicht so genau wie ich vorgehen soll.

hier

07.01.2008, 20:26

WebFritzi

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von hxh
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} xy \\ x+y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ab \\ a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

07.01.2008, 20:32

hxh

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RE: Lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} \phi\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} + \phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x+y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ab \\ a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann ich das nicht so schreiben ? oder ist die rechnung generell falsch

Edit: zu meiner vorherigen Frage

wäre die matrix dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} Mat A =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist das Bild einfach $\begin{eqnarray*} \kappa (x) = A *x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Mat A =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = x_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} + x_{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + x_{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2008, 02:00

tmo

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von hxh
$\begin{eqnarray*} \phi\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} + \phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x+y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ab \\ a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann ich das nicht so schreiben ? oder ist die rechnung generell falsch

du musst noch klammern drumsetzen:

$\begin{eqnarray*} \phi \left( \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} \right) + \phi \left( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} xy \\ x+y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ab \\ a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine klammer für die funktion und eine klammer für den spaltenvektor.

zu der matrix: ja das ist richtig Freude