Holomorphie einer komplexen Funktion

08.03.2004, 18:46

börni

Holomorphie einer komplexen Funktion

Hallo alle zusammen,

Ich habe heute zwei Fragen:

1) Ist eigentlich folgender Funktionstyp auf C holomorph bzw. irgendwo komplex differenzierbar?

$\begin{align*} f(z)=z^w ; (z,w komplex) \end{align*}$

2) Gegen welche Funktion konvergiert folgende Potenzreihe:

$\begin{align*} \Bigsum_{n=1}^8~ \frac{1}{n-a} z^n \end{align*}$

Dabei ist a eine feste komplexe Zahl und z komplex, 8=unendlich.

Ich hoffe, irgendjemand weiß es bzw. hat eine Idee.

Bis dann,

börni

09.03.2004, 00:43

Ben Sisko

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RE: Holomorphie einer komplexen Funktion

Zitat:

Original von börni
Hallo alle zusammen,

Ich habe heute zwei Fragen:

1) Ist eigentlich folgender Funktionstyp auf C holomorph bzw. irgendwo komplex differenzierbar?

$\begin{align*} f(z)=z^w ; (z,w komplex) \end{align*}$

Stellst du die Frage, weil du eine Aufgabe dazu hast oder aus reinem Interesse? Denn die allgemeine Potenz wird ja über den Logarithmus definiert, $\begin{align*} z^w=e^{w log(z)} \end{align*}$ , aber dieser ist im Komplexen nicht eindeutig, es gibt verschiedene Zweige. Hast du das schon behandelt?

Zitat:

Original von börni

2) Gegen welche Funktion konvergiert folgende Potenzreihe:

$\begin{align*} \Bigsum_{n=1}^8~ \frac{1}{n-a} z^n \end{align*}$

Dabei ist a eine feste komplexe Zahl und z komplex, 8=unendlich.

Es ist
$\begin{align*} \|\frac{\frac{1}{n-a}}{\frac{1}{n+1-a}}\|=\|\frac{n+1-a}{n-a}\| \end{align*}$
Da dies für $\begin{align*} n\to \infty \end{align*}$ gegen 1 geht, ist der Konvergenzradius 1. Im Inneren der Kreisscheibe mit Radius 1 um den Nullpunkt konvergiert die Potenzreihe absolut. Dies kannst du als Funktion auffassen, auch wenn du keine geschlossene Darstellung hast.

Gruß vom Ben

09.03.2004, 09:15

börni

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Meine Aufgabe!
Hallo Ben,

erstmal danke für deine Antwort.

Dass der Konvergenzradius dieser Potenzreihe 1 ist, kann man sofort mit der Quotientenregel zeigen. Meine Frage zielte aber auf die genaue Funktion ab. Z.B. ist folgende Potenzreihe (auch mit Konvergenzradius 1), als diese Funktion darstellbar bzw. konvergiert gegen diese Funktion:

$\begin{align*} \Bigsum_{n=1}^8~ \frac{1}{n} z^n = - ln(1-z) \end{align*}$

Wenn ich bei der Potenzreihe meiner Frage genauso vorgehe wie bei diesem Beispiel, stolpere ich über das Problem, eine Funktion, die einen komplexen Exponenten besitzt, differenzieren (und integrieren) zu müssen.

Die Darstellung der Potenz durch e hoch ... ist mir bekannt und gerade die verschiedenen Zweige machen mir Kopfzerbrechen. verwirrt

Da es meine Aufgabe ist, diese Potenzreihe als Funktion darzustellen, würden mir Ideen/Antworten zu beiden Fragen sicherlich weiterhelfen.

Auch Spezialfälle, wie z.B. a = i , könnten mich in die richtige Richtung lenken. Also: Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Gruß, börni

09.03.2004, 23:13

SirJective

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RE: Holomorphie einer komplexen Funktion

Zitat:

Original von börni
2) Gegen welche Funktion konvergiert folgende Potenzreihe:

$\begin{align*} \Bigsum_{n=1}^8~ \frac{1}{n-a} z^n \end{align*}$

Dabei ist a eine feste komplexe Zahl und z komplex, 8=unendlich.

Ich bin mal wieder zu faul zum selberrechnen, hab also Maple gefragt. Deshalb kann ich leider auch keinen Rechenweg dazu anbieten.

Es gibt anscheinend keine geschlossene Formel für alle a (Maple verwendet eine Funktion namens LerchPhi, die über eine ähnliche Potenzreihe definiert ist).

Für a = 1/2 ergibt sich die Funktion $\begin{align*} \sqrt {z}\ln ({\frac {1+\sqrt {z}}{1-\sqrt {z}}}) \end{align*}$ .

Für a = 3/2 ergibt sich $\begin{align*} {z}^{3/2}\ln ({\frac {1+\sqrt {z}}{1-\sqrt {z}}})-2z \end{align*}$ .

Für weitere positive halbzahlige a ergeben sich kompliziertere Formeln (die Maple nicht direkt, sondern nur durch Aufsplitten der Summe berechnen kann).

Für a = -1 ergibt sich $\begin{align*} -{\frac {\ln (-z+1)+z}{z}} \end{align*}$ .

Für a = -2 ergibt sich $\begin{align*} -{\frac {\ln (-z+1)+z+{z}^{2}/2} {{z}^{2}}} \end{align*}$ .

Für jede weitere negative ganze Zahl ergibt sich eine geschlossene Formel, die allerdings mit wachsendem a immer länger wird.

Für positive ganze a ist der Ausdruck undefiniert, da einmal durch 0 geteilt wird.

Für nichtreelle a kann ich leider keine Ergebnisse anbieten (Maple verweigert schon bei a = i die Mitarbeit).

Gruss,
SirJective

10.03.2004, 02:49

Ben Sisko

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Wenn du etwa den Hauptzweig des Logarithmus betrachtest, so ist $\begin{align*} z^w=e^{wlog(z)}=e^{w(ln\|z\|+i arg(z))} \end{align*}$ , wobei arg(z) der Winkel zwischen z und der reellen Achse ist. (Wenn ich mich nicht täusche).
Das sieht doch, beschränkt auf diesen Zweig, schon recht holomorph aus, oder? Bin mir aber nicht sicher! traurig

10.03.2004, 10:17

börni

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Moin, moin!

Besten Dank für die Antworten.
Ben Sisko, du sagst, die Darstellung für den Hauptzweig des Logarithmus sieht holomorph aus, aber wie gehst du mit dem Betrag im ln um? Zum Beispiel dürfte die Funktion

$\begin{align*} g(x)= \|z\| \end{align*}$

nirgens komplex diffbar sein(?). Also bin ich mit den Beträgen immer etwas vorsichtig.

Und wenn die Funktion wirklich holomorph ist ( für mein Problem muß sie das auf jeden Fall im Einheitskreis sein), wie sieht dann ihre Ableitung aus?

Schonmal danke, es grüßt

börni

11.03.2004, 02:43

Ben Sisko

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Der Betrag ist ja in dem Fall eine Funktion, die von C nach R abbildet und der ln der reelle Logarithmus. $\begin{align*} \|z\| \end{align*}$ sind also im Prinzip einfach reelle zahlen $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ .
Und da ja, wie schon gesagt $\begin{align*} ln\|z\|+iarg(z) \end{align*}$ der Hauptzweig des Logarithmus ist, ist diese Funktion auf jeden Fall holomorph. Ableitung ist $\begin{align*} \frac{1}{z} \end{align*}$ .

Kommst du damit weiter?

Gruß vom Ben

12.03.2004, 13:11

börni

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was haltet ihr davon?
Hallo und vielen Dank!

Okay, ich betrachte jetzt beliebige Potenzen mit komplexen Exponenten und betrachte den Hauptzweig. Dann gelten ja die ganz normalen Ableitungsregeln.

Was haltet ihr von folgender Überlegung: (z ist komplex, 8=unendlich)
Sorry für die Schreibweise, aber ich kriege immer nur ein Symbol in den Exponenten!

$\begin{align*} \Bigsum_{n=0}^8~ \frac{1}{n-i} z^n = z^i \Bigsum_{n=0}^8~ \frac{1}{n-i} z^k \end{align*}$

(wobei k = n-i)

$\begin{align*} = z^i \Bigint_{}^z~ \Bigsum_{n=0}^8~ w^t ~ \end{align*}$

(wobei t=n-i-1)

$\begin{align*} = z^i \Bigint_{}^z~ w^l \Bigsum_{n=0}^8~ w^n ~ \end{align*}$

(wobei l=-i-1)

$\begin{align*} = z^i \Bigint_{}^z~ ~\frac{w^l}{1-w} \end{align*}$

mit $\begin{align*} \|w\|<1 \end{align*}$

Kann ich so verfahren?

Könnte mal jemand nachsehen, was Maple zu folgender Reihe sagt?

$\begin{align*} \Bigsum_{n=0}^8~ \frac{n}{n^2+1} z^n \end{align*}$

Wenn man diesen Koeffizienten per Partialbruchzerlegung zerlegt, erhält man nämlich unter anderem den Koeffizienten
$\begin{align*} \frac{0,5}{n-i} \end{align*}$

Das erklärt vielleicht meine Fragen: Ich untersuche Potenzreihen, bei der z.B. die Koeffizienten durch eine rationale Funktion beschrieben werden, wobei der Nenner keine natürlichen Nullstellen besitzt. Diese Voraussetzung ist natürlich klar. Setzt man dann noch voraus, dass der Nennergrad größer als der Zählergrad ist, bekommt man eine Partialbruchzerlegung, so dass man die Reihe ín eine endliche Summe von Reihen zerlegen kann, wobei jede Reihe dann auf Koeffizienten der Form

$\begin{align*} \frac{1}{(n-a)^k} \end{align*}$

reduziert werden kann. (a komplex)

Über Kommentare, Hinweise und Tips würde ich mich freuen!

Ansonsten erstmal ein schönes Wochenende, es grüßt

börni

25.03.2004, 21:03

SirJective

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RE: was haltet ihr davon?

Zitat:

Original von börni
Hallo und vielen Dank!

Okay, ich betrachte jetzt beliebige Potenzen mit komplexen Exponenten und betrachte den Hauptzweig. Dann gelten ja die ganz normalen Ableitungsregeln.

Ich wäre mit z^w = e^(w log z) immer noch vorsichtig, da der Logarithmus nicht auf dem ganzen Einheitskreis definiert ist: nicht auf der negativen reellen Achse. Auf der geschlitzten Ebene ist er aber holomorph und damit ist z^w dort komplex differenzierbar.

Zitat:

Was haltet ihr von folgender Überlegung: [...]

Kann ich so verfahren?

Sorry, da bin ich überfragt.

Zitat:

Könnte mal jemand nachsehen, was Maple zu folgender Reihe sagt?

$\begin{align*} \Bigsum_{n=0}^\infty~ \frac{n}{n^2+1} z^n \end{align*}$

Das kann ich wiederum. Maple sagt

$\begin{align*} z/2\,{\rm hypergeom}([2,1+\sqrt {-1},1-\sqrt {-1}],[2+\sqrt {-1},2-\sqrt {-1}],z) \end{align*}$

(Die eckigen Klammern stellen geordnete Listen = Tupel dar.) Hilfetext dazu:
The function hypergeom(n, d, z) is the generalized hypergeometric function F(n, d, z). This function is also known as Barnes's extended hypergeometric function. If there are j coefficients in n, and k coefficients in d, this function is also known as jFk.

Die Definition dieser Funktion geht über eine unendliche Reihe, deren Koeffizienten Produkte von Werten der Gamma-Funktion sind. Also nix wirklich hilfreiches. Wenn man die Gamma-Terme ausrechnet, ergibt sich

$\begin{align*} \Bigsum_{k=0}^{\infty} {\frac {{z}^{k+1}\left(k+1\right)} {\left(1+\sqrt{-1}+k\right) \left(1-\sqrt{-1}+k\right)}} \end{align*}$

und wenn man das weiter vereinfacht ergeben sich - wer hätte das gedacht - genau die vorgegebenen Koeffizienten.)

Zitat:

Das erklärt vielleicht meine Fragen: Ich untersuche Potenzreihen, bei der z.B. die Koeffizienten durch eine rationale Funktion beschrieben werden, wobei der Nenner keine natürlichen Nullstellen besitzt.

Dies ist leider nicht meine Baustelle. Ich werd mich demnächst verstärkt mit algebraischen Zahlkörpern beschäftigen - da hab ich weder mit unendlichen Reihen noch mit Integralen zu tun smile

Gruss,
SirJective

PS: Um mehrere Zeichen wie eins zu behandeln, schließe sie in geschweifte Klammern ein: $\begin{align*} a^{n+1} \end{align*}$

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