charakteristisches Polynom

22.05.2005, 19:20	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristisches Polynom Hi, ich soll die Determinante der folgenden Matrix ausrechnen: $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} -x & 0 & ... & ... & 0 & k_o\\ 1 & -x & 0 & ... & 0 & k_1 \\0 & 1 &-x & ... & 0 & k_2 \\0 & 0 & 1 & -x & ... & ...\\0 & ... & ... & 1 & -x & k_{n-2}\\0 & ... & ... & 0 & 1 & k_{n-1}-x\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht genau wie das gehen soll, hab aber ne Idee. Ich multipliziere die 2.Zeile mit x und addiere die 1.Zeile dazu. Dann multipliziere ich die 3.Zeile mit x^2 und addiere die neue 2.Zeile dazu, usw. Geht das so? Man erhält dann ja ne Diagonalmatrix, Muss man dann die erhaltene Determinante durch xx^2x^3...x^n-1 teilen? Ich erhalte dann eine Diagonalmatrix mit folgender Gestalt: $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} -x & 0 & ... & ... & 0 & \\ 0 & -x^2 & 0 & ... & 0 & * \\0 & 0 &-x^3 & ... & 0 & * \\0 & 0 & & -x^4 & ... & ...\\0 & ... & ... & 0 & \ddots & \\0 & ... & ... & 0 & 0 & k_0+k_1x+k_2x^2+...+k_{n-1}x^{n-1}-x^n\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So und jetzt muss man einfach den Eintrag rechts unten betrachten und ist dann fertig oder? Also erhält man als Ergebnis: $\begin{eqnarray} (k_0+k_1x+k_2x^2+...+k_{n-1}x^{n-1}-x^n)(-1)^{n-1}=(-k_0-k_1x-k_2x^2-...-k_{n-1}x^{n-1}+x^n)(-1)^n \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Geht das eventuell geschickter?
22.05.2005, 22:44	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du machst 2 Fehler: wenn du eine Zeile mit x^k multiplizierst, was du ja wiederholt machst, musst du auch die Determinante mit x^k multiplizieren. Außerdem ist die Determinante einer Diagonalmatrix das Produkt der Diagonalelemente. Also überarbeite deine Lösung noch mal und poste dein Ergebnis hier. Gruß Anirahtak
23.05.2005, 18:27	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab ja die 2.Zeile mal x genommen die 3.Zeile mal x^2 ... und die n-te Zeile mal x^n-1. Und auf der Diagonalen steht links oben -x, dann -x^2 usw. also hebt sich das doch bis auf das Vorzeichen wieder auf, oder?
06.04.2007, 11:14	Pejosh2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Also...wir haben jetzt die gleiche Übungsaufgabe...und da mir der Ansatz fehlte...hab ich mal gesucht...und dieses Thema hier gefunden... Der Ansatz ist sehr logisch...hätt ich auch selbst drauf kommen können... Hab nur noch eine kleine Frage...oder doch zwei...ich kann ja über die letzte Spalte nichts aussagen...es muss doch alles gar nicht zwingend eine Diagonalmatrix sein... Und zweitens...dass ich die Determinante dann mit x^k multiplizieren muss...ist klar...muss ich sie dann nicht eigentlich hinterher wieder dadurch teilen? oder ist das egal?

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