Vollständige Induktion

07.01.2008, 21:49

ThLu

Vollständige Induktion

hi Jungs und Mädels,

habe ein Problem mit einer Induktions-Aufgabe...

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mich an die Lösung begeben:

I. Induktionsanfang z.z. n=0 ist wahr

$\begin{eqnarray*} 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$ und das ist wahr.

II. Induktionsschritt

a) Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

b) Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

c) Induktionsbeweis:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

laut IIa):
$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich sowohl die linke als auch die rechte Seite komplett aufgelöst, indem ich alles auf einen Nenner gebracht habe und die Klammern aufgelöst habe. Ich komme aber leider auf zwei verschiedene Brüche (obwohl das Ergebnis stimmt).

Wie würdet ihr weiter verfahren? Bzw. welchen Tipp würdet ihr mir geben - ich kenne ja euren Kodex ;-)

Gruß Thomas

07.01.2008, 21:56

therisen

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)+(2n+4)^2=\frac{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5) \end{eqnarray*}$

Das war's.

07.01.2008, 21:59

ThLu

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RE: Vollständige Induktion
ich habs kopiert dadurch die fehler... aber auf dem zettel hab ichs anders geschrieben und kam trotzdem auf zwei verschiedene brüche am schluss

07.01.2008, 22:03

ThLu

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RE: Vollständige Induktion
dann schreib ich es nochmal schön hin:

I. Induktionsanfang z.z. n=0 ist wahr

$\begin{eqnarray*} 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$ und das ist wahr.

II. Induktionsschritt

a) Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

b) Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

c) Induktionsbeweis:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

laut IIa):
$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

komme trotzdem jetzt nicht so recht weiter...

07.01.2008, 22:39

riwe

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von ThLu
dann schreib ich es nochmal schön hin:

I. Induktionsanfang z.z. n=0 ist wahr

$\begin{eqnarray*} 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$ und das ist wahr.

II. Induktionsschritt

a) Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2 = \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3) \end{eqnarray*}$

b) Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

c) Induktionsbeweis:

$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

laut IIa):
$\begin{eqnarray*} 2^2+4^2+6^2+...+(2n+2)^2+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)+(2n+4)^2 = \frac{2}{3}*(n+2)*(n+3)*(2n+5) \end{eqnarray*}$

komme trotzdem jetzt nicht so recht weiter...

wie weit soll es denn noch gehen verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)= \frac{2}{3}((n+1)+1)((n+1)+2)*(2(n+1)+3) \end{eqnarray*}$

08.01.2008, 06:21

ThLu

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muss denn nicht letzten Endes links und rechts das gleiche stehen?

08.01.2008, 09:01

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)= \frac{2}{3}((n+1)+1)((n+1)+2)*(2(n+1)+3) \end{eqnarray*}$

Was sollte jetzt dieser Hinweis bringen? verwirrt

@ThLu: schreibe so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3) + (2n+4)^2 = \frac{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3) + \frac 2 3 \cdot 6(n+2)^2 = \frac{2}{3}(n+2) \cdot ((n+1)(2n+3) + 6(n+2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{3}(n+2) \cdot (2n^2+11n+15) = \frac{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5) \end{eqnarray*}$

Brutales Ausrechnen der Klammern auf linker und rechter Seite würde zu dem gleichen Ergebnis führen. Deswegen frage ich, wo denn nun das Problem ist? verwirrt

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