Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

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23.05.2005, 14:09	Lamalambra	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der oberen Dreiecksmatrix Hey! Sitze mal wieder vor einem kleinen Problem... Habe diese Aufgabe hier: Finden Sie für die Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ eine Matrixdarstellung durch eine obere Dreiecksmatrix. So, ich weiß jetzt, dass es eine obere Dreiecksmatrix gibt, wenn Xf(x) in Linearfaktoren zerfällt. Mein Problem ist allerdings, dass ich keine Formel habe wie ich jetzt diese obere Dreiecksmatrix berechnen soll, vielleicht könnte mir jemand einen Tipp geben, wäre echt nett! Gruß dat Lama
23.05.2005, 16:42	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
verstehst Du unter oberer Dreiecksmatrix etwa eine Matrix der Form? $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja benutze den gaußschen Algorithmus zur Berechnung einer oberen Dreiecksmatrix.
23.05.2005, 16:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme zunächst die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch Lösen von $\begin{eqnarray} \operatorname{det}(A-xE) = 0 \end{eqnarray}$ . Hierbei ist $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix. Die Lösungen sind 2 (zweifach) und 1 (einfach). Bestimme dann zugehörige Eigenvektoren $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ durch Lösen von $\begin{eqnarray} (A-2E)u = 0 \ \ \text{bzw.} \ \ (A-E)w = 0 \end{eqnarray}$ Die Lösungsräume sind eindimensional. Du erhältst z.B. $\begin{eqnarray} u = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ w = \begin{pmatrix} 1 \\ -11 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Jetzt fehlt noch ein dritter Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ für eine geeignete Basis. Damit eine obere Dreiecksmatrix entsteht, fordert man mit einem Skalar $\begin{eqnarray} \alpha \neq 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} Av = \alpha u + 2v \ \ \Leftrightarrow \ \ (A-2E)v = \alpha u \end{eqnarray}$ . Man findet als Lösung z.B. $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{\alpha}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und kann speziell $\begin{eqnarray} \alpha = 4 \end{eqnarray}$ wählen. Jetzt hat man $\begin{eqnarray} Au = 2u \, , \ Av = 4u+2v \, , \ Aw = w \end{eqnarray}$ und damit ist die beschreibende Matrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ eine obere Dreiecksmatrix. Mit $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} u & v & w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} T^{-1}AT = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
23.05.2005, 17:05	Lamalambra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke schön, werd ich nachher mal ausprobieren
23.05.2005, 20:00	Lamalambra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habe das jetzt alles mal gerechnet, aber irgendwie versteh ich das jetzt zum Schluss nicht ganz mit den Gleichungen: Aw = w Au = 2u Av = 4u+2v Ich weiß wie die Gleichungen entstanden sind, aber wieso hast du die in der Reihenfolge u v w in die Matrix eingesetzt? Kann sein, dass ich jetzt irgendetwas übersehen habe... Ach genau und wieso rechne ich die Eigenvektoren aus, die brauch ich ja irgendwie zum Schluss gar nicht mehr, irgendwie überseh ich da gerade irgendwas, glaub ich... Gruß dat Lama
23.05.2005, 22:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst sie auch in anderer Reihenfolge zusammensetzen, aber dann werden auch die Spalten der Dreiecksmatrix permutiert - und schwupp - ist es keine Dreiecksmatrix mehr. Beachte: Wenn eine Matrix eine lineare Abbildung bezüglich einer vorgegebenen Basis beschreibt, dann enthält ihre erste Spalte den Bildvektor des ersten Basisvektors (genauer: die Koeffizienten seiner Linearkombination bezüglich der Basis), die zweite Spalte den Bildvektor des zweiten Basisvektors (genauer: die Koeffizienten seiner Linearkombination bezüglich der Basis) usw.
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25.05.2005, 14:44	thealmighty	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab jetzt mal fröhlich die Matrix $\begin{eqnarray} T^{-1} \end{eqnarray}$ berechnet und kriege da: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ -14 & 2 & -4 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, und wenn man jetzt $\begin{eqnarray} T^{-1}AT \end{eqnarray}$ rechnet, dann komme ich nicht auf ne obere Dreiecksmatrix!
25.05.2005, 15:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von Leopold beschriebene Matrix T hat eine andere Inverse, da musst du dich verrechnet haben.
25.05.2005, 15:42	thealmighty	Auf diesen Beitrag antworten »
au ja, ich habe die inverse von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ berechnet! Die richtige inverse sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 11 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann kommt das auch hin!

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