probleme mit ab- bzw. aufleitung

09.03.2004, 12:27

SuNNyGirL19

probleme mit ab- bzw. aufleitung

hi!
ich schreibe bald ne klausur und verstehe net so gut wie man auf- bzw ableitet (vor allem e- funktionen die noch eine komplizierte potenz haben).
vielleicht könnte mir jemand helfen (mit beispielen wäre nett)
thx schon mal im voraus

09.03.2004, 12:55

Deakandy

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RE: probleme mit ab- bzw. aufleitung
Also fangen wir mal mit dem Ableiten an.
Ich hätte ja alles gedacht, aber Probleme bei der e-Funktion...naja also dann fangen wir mal an...
$\begin{align*} f(x)=e^x \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x)=e^x \end{align*}$
Naja das wusstest du ja bereits
Das prinzip ist bei der E-Funktion ja folgendes.
Die E-Funktion leitet man so ab, das die äußere Ableitung der E-Funktion wieder die E-Funktion beschreibt.
dann kommen die inneren Ableitungen, bzw. die Ableitungen des Exponenten.
Also
$\begin{align*} f(x)=e^{x^2} \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x)=e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2}\cdot2x=2x\cdot e^{x^2} \end{align*}$
So und nun steigert sich die ganze Sache nur.
$\begin{align*} f(x)=e^{\sqrt {x^3+4x}} \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x)=e^{\sqrt {x^3+4x}}\cdot (\sqrt {x^3+4x})' \end{align*}$
Das heißt du musst nun noch die Wurzel ableiten und die "Stamm-e-funktion" immer mitziehen.

$\begin{align*} \frac {1} {2\cdot \sqrt {x^3+4x}}\cdot(x^3+4x)' \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {3x^2+4} {2\cdot \sqrt {x^3+4x}} \end{align*}$
so nun hast du die Wurzel auch abgeleitet und fügst quasi zusammen
$\begin{align*} \frac {3x^2+4} {2\cdot \sqrt {x^3+4x}}\cdot e^{\sqrt {x^3+4x}} \end{align*}$
Ich hoffe, ich habe keine Fehlerchen gemacht.
Ist es dir soweit klar geworden?
Wenn ja dann sage mir doch mal was bei der Aufgabe rauskommt
$\begin{align*} 3x^2\cdot e^{sin(x)} \end{align*}$
Denk dran, das dies ein Produkt ist und du die Produktregel anwenden musst.
Versuche es mal

09.03.2004, 13:10

SuNNyGirL19

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also es müsste dann:
6x*e^(sinx)+3x²*e^(sinx)*(cosx) rauskommen
wenn nicht müsstest du mir noch ein wenig besser erklären oder noch ein beispiel...

ich habe übrigens nicht verstanden wo die 2* bei der ableitung der wurzel herkommt...

09.03.2004, 13:20

Deakandy

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Also erst mal zur wurzel
$\begin{align*} \sqrt {x} \end{align*}$ ist abgeleitet $\begin{align*} \frac {1} {2\cdot \sqrt {x}} \end{align*}$
Wieso...na dann schau mal her
$\begin{align*} \sqrt {x} = x^{\frac {1} {2}} \end{align*}$
Wenn du nun ableitest
$\begin{align*} \frac {1} {2} \cdot x^{(\frac {1} {2} -1)} \end{align*}$ = $\begin{align*} \frac {1} {2} \cdot x^{-\frac {1} {2}} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {1} {2}\cdot \frac {1} {x^{(\frac {1} {2})} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {1} {2\cdot x^{\frac {1} {2}} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {1} {2\cdot \sqrt {x}} \end{align*}$
Verstanden?

Also wenn dein Ergebnis so aussieht, dann stimmt es
$\begin{align*} 6x\cdot e^{sin(x)}+3x^2\cdot cos(x)\cdot e^{sin(x)} \end{align*}$

09.03.2004, 13:22

Poff

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Zitat:

6x*e^(sinx)+3x²*e^(sinx)*(cosx) rauskommen

ist richtig

sicherheitshalber aber noch eine zusätzliche Klammer damit keine
Missverständnisse aufkommen können

6x*e^(sinx) + 3x²*(e^(sinx))*(cosx)
oder du schreibst das cosx vor den e-Teil, dann ist es auch so
völlig unmissverständlich:

6x*e^(sinx)+3x²*(cosx)*e^(sinx)
...

09.03.2004, 13:28

Deakandy

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Eine Hammeraufgabe, wie ich finde, liefert die nächste
$\begin{align*} f(x)= ln \frac{\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}+x} \end{align*}$
Also wenn du die raus bekommst, dann kannste stolz auf dich sein...
Anbei ein kleiner Tip
Zuerst den Logarithmus vereinfachen indem du mit der dritten binomischen Formel erweiterst...dann siehst du schnell, dass der Ausdruck viel einfacher wird wenn man die Logarithmusgesetze gehört hat
Lösung ist:
$\begin{align*} -\frac {2} {\sqrt {x^2+1}} \end{align*}$

09.03.2004, 13:30

SuNNyGirL19

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cool :-)
ja habe die klammer vergessen....

vielleicht könntest du mir noch die aufleitung etwas erklären (intergal und e funktionen...)
thx
:-)

09.03.2004, 13:37

Poff

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Zitat:

aufleitung(en) *gg*

sind schwieriger, das überlass ich dem Andy Augenzwinkern

...

09.03.2004, 13:44

Deakandy

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Naja mal erst allgemein für die e-Funktion
$\begin{align*} \Bigint~e^{ax+b}~dx =\frac {1} {a}\cdot e^{ax+b}+C \end{align*}$

Also als Beispiel:
$\begin{align*} \Bigint~e^{\frac {1} {7}\cdot x}~dx = \frac {1} {\frac {1} {7}}\cdot e^{\frac {1} {7}\cdot x} = 7\cdot e^{\frac {1} {7}\cdot x} \end{align*}$
ein anderes

$\begin{align*} \Bigint~e^{2-6x}~dx = -\frac {1} {6}\cdot e^{2-6x} \end{align*}$

09.03.2004, 15:33

Deakandy

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$\begin{align*} f(x)= ln \frac{\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}+x}= ln(\frac {\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}+x}\cdot \frac {\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}-x}) \end{align*}$
$\begin{align*} ln\frac {(\sqrt {x^2+1}-x)^2} {x^2+1-x^2} = ln(\sqrt {x^2+1}-x)^2 -ln1=2\cdot ln(\sqrt {x^2+1}-x) \end{align*}$
So weit zur Vereinfachung... nun die Ableitung
$\begin{align*} \Rightarrow \frac {2} {\sqrt {x^2+1}-x}\cdot (\frac {1} {2}\cdot (x^2+1)^{-\frac {1} {2}}\cdot 2x-1) \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow \frac{2} {\sqrt {x^2+1}-x}\cdot (\frac {x} {\sqrt {x^2+1}}-1) \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow \frac {2x} {({\sqrt {x^2+1}-x})\cdot\sqrt {x^2+1}} - \frac {2} {\sqrt {x^2+1}-x} \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow \frac {2x-2\cdot \sqrt {x^2+1}} {(\sqrt {x^2+1}-x)\cdot \sqrt {x^2+1} \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow -\frac {2\cdot (\sqrt {x^2+1}-x)} {(\sqrt {x^2+1}-x)\cdot \sqrt{x^2+1}} \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow -\frac {2} {\sqrt {x^2+1} \end{align*}$

Ich finde diese Aufgabe kommt fast in jedem Kurs vor smile

09.03.2004, 18:13

SuNNyGirL19

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thx ;-)
muss ich mir noch ma genau angucken...
wie muss ich aber z.B. rechnen wenn die aufgabe so aussieht:
intergall von (lnx-2)/(0.5sinx)

09.03.2004, 19:14

Poff

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@SuNNyGirL19

nur mal so zur Info,

Eigene zusammenbasteln darfst du dir nicht, denn anders als bei
den Ableitungen, ist die große Mehrheit der Integrale NICHT einfach
elementar lösbar. Wenn du einfach so mal probierst läufst du sehr
schnell auf. Das wollte ich mal loswerden in Verbindung damit.

Da es also eh nur eine geringe, wohlausgesuchte Teilmenge ist,
die da als Aufgabe erscheint und lösbar ist, interessiert es MICH
nahezu nicht und deswegen will ich entsprechende Tipps und
Vorschläge dazu all den anderen hier überlassen.

Kurzum Integration interessiert MICH einfach nicht ...
...

09.03.2004, 19:35

BlackJack

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solange ihr in der schule noch nichts von pariteller integration oder integration durch substitution gehört habt, wirst du immer nur "einzelne" funktionen (d.h. nicht so zusammengesetzte funktionen wie bei ableitungen) integrieren müssen - und da ist das ja kein problem, da du immer nur mit einem bestimmten faktor korrigieren musst. und denk dran, als probe kann man immer gut die ableitung machen.

09.03.2004, 19:42

SuNNyGirL19

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ähm es ist jetzt vielleicht ein wenig peinlich aber ich gehe in die 13. und wir hatten partielle integration schon (was aber net heißt, dass ich es verstehe...)

09.03.2004, 21:31

BlackJack

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ok, das ist dann natürlich etwas anderes... Augenzwinkern

was aber nicht heisst, dass man damit alle stammfunktionen bestimmen kann.

und zur partiellen int.: am anfang hatte ich da auch meine probleme mit, ist im grunde genommen aber ganz einfach. zuerstmal die formel:
$\begin{align*} \Bigint_{b}^a~u(x)v'(x)~dx = \[u(x)v(x)\]_{b}^a - \Bigint_{b}^a~u'(x)v(x)~dx \end{align*}$
die herleitung ist im prinzip egal, die wird eh nicht gefordert (wozu hat man ne formelsammlung?)

das integral, was links steht, ist das integral, was du lösen möchtest.
und jetzt musst nur schauen, wie sich deine funktion zusammensetzt. du musst in der funktion ein produkt haben, den einen faktor bestimmst du dann einfach als u(x), den anderen al v'(x). dann musst du nur noch u'(x) (ableitung von u(x)) und v(x) (aufleitung von v'(x)) bilden, einsetzen und fertig. so weit die theorie.
(in der praxis muss ich mir jetzt erstmal ein beispiel einfallen lassen, an dem ich das erklären kann Augenzwinkern

)

p.s.: du bist in der 13.? wieviele tage schule noch? wir noch 24! Tanzen

09.03.2004, 21:48

Poff

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@BlackJack

dein Beitrag schön und gut, aber ich vermisse dabei die Erwähnung,
dass das eben NUR in Ausnahmefällen zum Erfolg führt.

Das hört sich ein wenig so an, als liese sich damit fast alles
zufriedenstellend ....

Das ist aber völlig falsch.
Richtig ist, dass die Aufgaben aus der Schule auf diese Prinzipien
ganz speziell ABGESTIMMT sind, deswegen und nur deswegen
funzt das scheinbar so oft und so 'schön' ...

Das sollte man wenigstens wissen finde ich, da man ansonsten
nämlich annehmen könnte, das sei DIE Formel mit der alles
in der Praxis annähernd gelöst werden könnte.

und das ist falsch, wenn man von den schulischen Ausnahmen
mal absieht
...

09.03.2004, 22:19

BlackJack

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@poff:

Zitat:

Original von BlackJack
was aber nicht heisst, dass man damit alle stammfunktionen bestimmen kann.

???

und ausserdem ist es im prinzip doch die letzte wahl; wenn man bei einer aufgabe nicht substituieren kann und keine partialbruchzerlegung machen kann, muss man an die paritelle integration ran.

ok, du hast recht, in der schule kommen immer abgestimmte aufgaben dran, bei denen z.b. das neue integral rechts einfach zu lösen ist, das stimmt - aber anwenden kann man die part. integration nunmal immer (im gegensatz zu substitution oder gar paritalbruchzerlegung); ob was (einfaches) dabei rauskommt ist eine andere frage.

09.03.2004, 22:29

BlackJack

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ok, mal ein stumpes beispiel:
f(x) = x*x^2
stumpf deshalb, weil x*x^2 = x^3, und x^3 ist eigentlich einfach zu integrieren. aber zum üben machen wir es mal über die partielle integration.

int(x*x^2)

u(x) = x^2
u'(x) = 2x

v'(x) = x
v(x) = x^2/2

regel anwenden:
int(u*v') = [u*v] - int(u'*v)
int(x*x^2) = [x^2*x^2/2] - int(2x*x^2/2)
int(x*x^2) = [x^4/2] - int(x*x^2) |+int(x*x^2)
2*int(x*x^2) = [x^4/2] |/2
int(x*x^2) = [x^4/4] //

auf das selbe ergebniss würde man kommen, wenn man x^3 direkt integriert.

eigentlich kann man sich die regel auch ganz gut merken: bei dem einen integral mus entweder u oder v einen strich haben, beim 2. integral den strich dann genau an der anderen funktion, und die schon fertige stammfunktion (das in den []) hat gar keine striche. dann nur noch an das minus denken, und alle sind glücklich.

10.03.2004, 12:53

SuNNyGirL19

Auf diesen Beitrag antworten »

@ deakandy
bei der integralformel:
integral von e^(ax+b) dx = 1/a*e^(ax+b)+c
ist das dieses +c, was in deinen beispielen nicht vorkommt....
muss man das nur hinzufügen, wenn es heißt ax+b?

@blackjack
ja muss ich auch noch ungefähr (eine woche nach den osterferien...)
wie bist du von der zeile hier:
...int 2x*0.5x^2 dx
auf die zeile int x*x^2 dx gekommen?
was hast du mit der 0.5 und der 2 gemacht?

10.03.2004, 14:12

BlackJack

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SuNNyGirL19
bei der integralformel:
integral von e^(ax+b) dx = 1/a*e^(ax+b)+c
ist das dieses +c, was in deinen beispielen nicht vorkommt....
muss man das nur hinzufügen, wenn es heißt ax+b?

nein, das +c muss man bei der stammmfunktion eigentlich immer anfügen, allerdings spart man sich das oft, weil es zum einen offensichtlich ist, zum anderen fällt es auch wen, wenn man grenzen einsetzt. man setzt ja die obere grenze in die stammfunktion ein und zieht davon die stammfunktion mit der unteren grenze eingesetzt ab. da das c kein x hat, hängt es nicht von der grenze ab, und so fällt es beim subtrahieren dann weg.
aber wenn man mathematisch korrekt die stammfunktion angeben soll, muss (oder sollte) das +c immer angehängt werden.

Zitat:

Original von SuNNyGirL19
wie bist du von der zeile hier:
...int 2x*0.5x^2 dx
auf die zeile int x*x^2 dx gekommen?
was hast du mit der 0.5 und der 2 gemacht?

da hab ich eine ziemlich komplizierte methode auf die 2 und die 0.5 angewand: multiplizieren. Augenzwinkern

10.03.2004, 14:13

Ben Sisko

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Zitat:

Original von SuNNyGirL19
@ deakandy
bei der integralformel:
integral von e^(ax+b) dx = 1/a*e^(ax+b)+c
ist das dieses +c, was in deinen beispielen nicht vorkommt....
muss man das nur hinzufügen, wenn es heißt ax+b?

Das ist eine Konstante. Die muss man addieren, weil die Stammfunktion nur bis auf eine Konstante eindeutig ist (das c fällt ja beim Ableiten wieder weg, egal welchen Wert c hat). EINE Stammfunktion hast du auch für c=0.

Zitat:

Original von SuNNyGirL19
@blackjack
ja muss ich auch noch ungefähr (eine woche nach den osterferien...)
wie bist du von der zeile hier:
...int 2x*0.5x^2 dx
auf die zeile int x*x^2 dx gekommen?
was hast du mit der 0.5 und der 2 gemacht?

Ich hab die Zeile nicht gefunden, aber so wie du´s geschrieben hast, ist 2*0,5=1 und die 1 hat er einfach nicht mehr geschrieben Augenzwinkern

Gruß vom Ben

10.03.2004, 14:45

SuNNyGirL19

Auf diesen Beitrag antworten »

@blackjack
also du hast 2x*0.5x^2 gerechnet und dann wieder in x*x^2 gespalten ;-)

10.03.2004, 15:05

BlackJack

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SuNNyGirL19
@blackjack
also du hast 2x*0.5x^2 gerechnet und dann wieder in x*x^2 gespalten ;-)

ja, ich habe im prinzip erstmal v' und u so hingeschrieben und multipliziert, wie sie da standen (v' = 2x, u=0.5x^2), und dann einfach im nächsten schritt zusammengefasst.

10.03.2004, 15:49

jama

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du hier fertig bist, kannst Du Dir ja eine Abituraufgabe zur Differential- und Integralrechnung anschauen: http://www.matheboard.de/tipp.php?tipp=D...ntegralrechnung

Ebenfalls in den "Tipps & Tricks" gefunden.

Gruß,

Jama

10.03.2004, 20:42

SuNNyGirL19

Auf diesen Beitrag antworten »

hab noch ne frage zu integralen:
bei dem integral von [(1/x)*lnx]dx= (lnx)^2-int [(1/x)lnx]dx
weiter komme ich net, denn ich kann das integral net auflösen...
da soll 1/2(lnx)^2+c herauskommen...

beim integral von (x+1)/(x^2-1)dx komme ich gar net weiter...

genau wie beim intergral von lnx/x dx...
vielleicht könnte mir da jemand helfen...
thx schon mal im voraus smile

10.03.2004, 21:05

Meromorpher

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Hi SunnyGirl,

gug dir mal dein Integral genau an, dann siehst du die Lösung wahrscheinlich sofort.
Du hast:
$\begin{align*} \int {dx\frac{1} {x}\ln \left( x \right) = } \ln \left( x \right)^2 - \int {dx\frac{1} {x}\ln \left( x \right)} \end{align*}$
Wenn du das integral jetzt auf eine Seite bringst steht da:
$\begin{align*} 2\int {dx\frac{1} {x}\ln \left( x \right) = } \ln \left( x \right)^2 \end{align*}$
Jetzt noch durch 2 geteilt und du hast deine Lösung (+c kommt natürlich auch noch dazu, da es ja ein unbestimmtes Integral ist.). smile

10.03.2004, 21:24

SuNNyGirL19

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Meromorpher
jetzt seh ich es auch ;-)

was ist mit den anderen integralen?

11.03.2004, 01:34

Meromorpher

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Du meinst $\begin{align*} {\frac {x+1}{{x}^{2}-1}} \end{align*}$ ? Das ist nach einer kleinen Umformung nicht mehr schwer. Wenn du $\begin{align*} {x}^{2}-1 = (x+1)(x-1) \end{align*}$ setzt kürzt sicht der x+1-Term weg und du bekommst $\begin{align*} \ln \left( x-1 \right) \end{align*}$ als Integral.

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