Zusammengesetzte Aufgabe zur Vektorrechnung - Seite 2

01.06.2005, 13:12

riwe

was hast denn da gemacht?

mit z = 0 (xy-ebene) hast du sofort aus der parameterdarstellung von E: v = 0 und der "rest von E" ist die gl der spurgeraden g(xy): mit u = 0 => A und u = 2 => B
werner

01.06.2005, 13:25

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ich dachte wenn ich die x,y-Ebene als Gleichung aufstelle und sie dann in die Normalengleichung der Ebene einsetze, bekomme ich die Spurgerade raus ?!

Hm, aber nagut...im Prinzip stimmt das ja dann so:

Da x,y-Ebene muss z=0 sein und damit eben wie du schon sagst v=0 und dann hab' ich: $\begin{eqnarray*} g_{x,y}=\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch beide Punkte liegen darauf mit u=0 (A) und u=2 (B), wie du ja auch schon geschrieben hast.

Dankeschön, aber ich dachte auf die andere Methode müsste das auch funktionieren..naja. *g*

01.06.2005, 13:49

riwe

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ja jetzt sehe ich erst, was du gemacht hast, das soll Exy heißen, nicht gxy!
dieser weg funktioniert auch, ist aber wohl ein bißchen umständlicher.
du hast halt einen VZ-fehler, die richtige gl lautet
$\begin{eqnarray*} g_{xy}:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

01.06.2005, 14:00

SkYfiGhTeR

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Oups...ist mir nicht aufgefallen, tut mir leid. Hab's ausgebessert und soeben auch den VZ-Fehler entdeckt. Vielen Dank! Augenzwinkern

Aufgabe f):

Also, da die Spurgerade die vorher aufzustellen war ja A und B enthält, sind zwei Schnittpunkte schon des Dreiecks schon mal A und B.

$\begin{eqnarray*} A (6/4/0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B (2/6/0) \end{eqnarray*}$

Um den dritten Schnittpunkt P rauszubekommen, habe ich die Gerade CS und die Ebene AGR gleichgesetzt und so den dritten Schnittpunkt P erhalten.

$\begin{eqnarray*} g_{CS}:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{AGR}: [\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}3\\6\\10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ergab für $\begin{eqnarray*} s=0,5 \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} P (1/1,5/3) \end{eqnarray*}$ .

Für den Winkel zwischen der dreieckigen Schnittfläche ABP und der Grundfläche ABC habe ich den jeweiligen Normalenvektor der beiden Ebenen berechnet und dann für den Winkel:

$\begin{eqnarray*} cos \alpha=\frac{|\begin{pmatrix}0\\0\\28\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}3\\6\\10\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}0\\0\\28\end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix}3\\6\\10\end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=33,85° \end{eqnarray*}$

01.06.2005, 14:54

riwe

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schnittpunkt paßt, schnittwinkel zu berechnen, lehne ich ab, das ist gar zu öd. aber du weißt ja eh, wie es geht
werner

01.06.2005, 16:52

SkYfiGhTeR

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Hallo,

hehe jep alles klar.

Dann noch zur Aufgabe d):

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix}7\\-2\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ABS}: \vec{x}=\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix}0\\-3\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ABS}: [\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann die Geradengleichung in die Normalengleichung der Ebene ABS eingesetzt und erhalten: $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$

Damit dann der Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S (3/4/3) \end{eqnarray*}$

Der Schnittwinkel dann:

$\begin{eqnarray*} cos \alpha=\frac{|\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=53,55° \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 90°-\alpha=36,45° \end{eqnarray*}$

01.06.2005, 18:13

riwe

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im grünen bereich
werner

01.06.2005, 18:22

SkYfiGhTeR

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wunderbar...vielen Dank! Augenzwinkern

- - - - -

Eine kurze Frage zu Kreisen:

Gesucht sind die Gleichungen der beiden Kreise $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ , welche jeweils die beiden Koordinatenachsen berühren und den Punkt P enthalten.

a) P (4/2)

b) P (8/1)

c) P (9/2)

Wäre super, wenn mir das kurz jemand für die a) erläutern könnte...dankeschön.

01.06.2005, 19:30

SkYfiGhTeR

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Hallo,

hat sich denke ich erledigt, wenn meine folgende Vorgehensweise nicht verkehrt ist.

Ich habe ja $\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Also dann bei meiner Aufgabe:

a) $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\a\end{pmatrix})^2=a^2 \end{eqnarray*}$

Das ergab dann: $\begin{eqnarray*} a_1=10; a_2=2 \end{eqnarray*}$

b)

Gleiche Vorgehensweise und rausbekommen: $\begin{eqnarray*} a_1=13; a_2=5 \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} a_1=17; a_2=5 \end{eqnarray*}$

Und dann eben noch jeweils die beiden kompletten Kreisgleichungen mit den entsprechenden a hingeschrieben.

Korrekt so ?

01.06.2005, 19:40

riwe

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rechenweg ist ok
werner

01.06.2005, 19:45

SkYfiGhTeR

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Hallo,

gut, dankeschön. Augenzwinkern

02.06.2005, 14:57

SkYfiGhTeR

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Hallo,

es geht jetzt um die folgende Aufgabe im Dateianhang.

Also Aufgabe a) ist problemlos gegangen.

Es waren die Punkte A, B und D ja gegeben.

Dann hatte man: $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AD}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es sollte gezeigt werden, dass die beiden orthogonal zueinander sind und die Beträge gleich sind.

Für das Erste muss das Skalarprodukt Null ergeben:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB}*\vec{AD}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2\\4\\4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-4\\-4\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das gibt dann $\begin{eqnarray*} 8-16+8=0 \end{eqnarray*}$

Passt also.

Und die beiden Beträge sind auch gleich, jeweils $\begin{eqnarray*} \sqrt{36} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ . Also auch in Ordnung.

- - - - - - -

So, wie gehe ich denn nun bei Aufgabe b) vor um einen Punkt C zu bekommen, der dann mit A, B und D ein Quadrat ergibt und damit die Grundfläche der Pyramide (später kommt ja die Spitze dazu)?

Soll ich da für C einfach mal (x, y, z) annehmen und dann z.B. stehen BC und CD senkrecht aufeinander, also Skalaprodukt Null und dann eben die x, y und z von C ausrechnen? Bekomme ich das so hin oder geht's anders (einfacher, schneller)?

Danke! Augenzwinkern

02.06.2005, 18:20

riwe

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$\begin{eqnarray*} \vec{OC}= \vec{OB}+ \vec{AD} \end{eqnarray*}$
sollte C(-1/2/5) ergeben
werner

02.06.2005, 18:40

SkYfiGhTeR

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Hallo,

öhm...ja stimmt, das kommt raus. *g* Ok, dankeschön.

Bei Aufgabe c) soll ich ja das Volumen der Pyramide berechnen, wenn die Spitze bei S (6/0/6) liegt.

Kann ich bei einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche eigentlich auch das Spatprodukt $\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} \end{eqnarray*}$ anwenden? Oder in anderer Form (ohne das 1/2, da ich ja keine dreieckige Grundfläche habe?)

Oder muss ich die Grundfläche eben ausrechnen, was ich ja ohne Probleme machen kann und dann eben noch die Höhe ermitteln? Wenn ich es so machen muss, wie mach ich das schnell noch gleich mit der Höhe in Punkt S (6/0/6) ?

Edit: Eigentlich ists beim Spatprodukt mit dem $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ja Blödsinn, ist ja 'ne quadratische Grundfläche, gibt also eh nur a und b. *g*

02.06.2005, 18:55

riwe

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klar kannst du das spatprodukt anwenden, hänge dich doch nicht so an den buchstaben auf!!!!, das hatten wir schon
a und b spannen ein parallelogramm = grundfläche auf (hier halt ein quadrat) und c ist der 3. vektor des dreibeines, der zur "spitze" zeigt!
schau dir deine letzte aufgabe an, wo immer NULL rauskam.
hier geht es eventuell einfacher, wenn du V = 1/3Gh rechnest mit G = a^2 (hast du schon) und h aus der HNF der grundfläche mit dem punkt S.

und zur übersicht was zum gucken
werner

02.06.2005, 19:22

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ahja, vielen Dank für das wie immer sehr hilfreiche Bild!! smile

Öhm...nur irgendwie hab ich nicht 108 als Volumen raus. *g*

Ich habs nun einmal über Spatprodukt und einmal über Grundfläche und HNF bzw. Höhe gemacht (und zwei versch. Werte, sind aber alles Vielfache von 108, also lassen sich teilen...hängt wohl mit irgend einem kleinen Fehler zusammen, entweder nicht 1/2 oder nicht 1/3 oder so bei mir *g*).

Also zu erstmal mit dem Spatprodukt, was eigentlich etwas wenig ist:

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{3}*(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*[\begin{pmatrix}-2\\4\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\-4\\2\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\begin{pmatrix}24\\-12\\24\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*216=72 \end{eqnarray*}$

Tjoa..also wenn ich nicht durch 3 dividieren würde, käme ich auch auf 108. Andererseits, wenn ich nur durch 2 dividieren würde, käme ich auf die 72, welche ich über Grundfläche*Höhe erhalten habe. *gg*

- - -

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}*G*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=|\vec{a}|^2=6^2=36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{Grundflaeche}=[\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\2\\-1\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(E, S)=\frac{1}{3}*[\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\-1\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(2+2+14)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{Pyr.}=\frac{1}{3}*G*h=\frac{1}{3}*36*6=72 \end{eqnarray*}$

Ja, wo hab ich denn nun was falsch? Also kann nur an dem 1/2 bzw. 1/3 liegen, ansonsten "passen" die Werte ja zu deinen 108, wie mir aufgefallen ist. *g*

PS: Ich hoffe es sind jetzt keine Tippfehler bei dem Allen dabei...

02.06.2005, 20:06

riwe

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schau das bild an, habe es schon korrigiert, richtig ist V = 72, und der fehler liegt in dem faktor 1/2 beim spatprodukt, das "gilt" NUR bei einem dreieck als grundfläche = 1/2 parallelogramm.
wie du ja weißt, liefert der batrag des exproduktes die fläche eines parallelogramms.....
(wenn es dich tröstet: ich habe 18:3 = 9 gerechnet)
werner

02.06.2005, 20:09

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ahja alles klar in Ordnung. Hab' mir gleich gedacht, dass ich da die 1/2 nicht nehmen darf, da ich ja wie gesagt ein Quadrat habe...aber naja, habs nicht in die Tat umgesetzt (hatte es aber ja 2, 3 Postings drüber direkt gefragt wegen dem 1/2, also indirekt halt...egal).

Gut, vielen Dank! smile

Geht dann sofort weiter... *g*

02.06.2005, 20:36

SkYfiGhTeR

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Hallo,

so zur Aufgabe d):

Normalenvektor der Ebene ABS: $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalenvektor der Ebene DAS: $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}4\\-5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann das Skalaprodukt und als Winkel habe ich erhalten: $\begin{eqnarray*} \alpha=78,46° \end{eqnarray*}$

Richtig?

- - - - -

Aufgabe e):

Die Koordinatengleichung ist ja schon gegeben von der Ebene und dann jeweils die Koordinaten der Punkte A und B einsetzen und beide Male kommen die 48 raus, also enhält die Ebene auch die Punkte.

- - - -

Wie gehe ich denn bei der f) vor ?! Da weiß ich noch nicht wirklich wie ich vorgehen soll...*g*

02.06.2005, 21:13

riwe

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überprüfe den 2. normalenvektor

zu f) schau doch die skizze an, da siehst du ja, welche kanten die ebene schneidet, und dann helfen symmetrieüberlegungen, bzw. vergleiche AE1 und BE2
werner

02.06.2005, 21:43

SkYfiGhTeR

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Hallo,

habe den 2. Normalenvektor eben nochmal überprüft, was soll denn da falsch sein ?!

$\begin{eqnarray*} E_{DAS}:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20-(-4)\\-10-20\\8-20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\-30\\-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\-10\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu f):

Kann man hier auch einfach dann um das zu rechnen, eben die Ebene mit den entsprechenden Seiten der Pyramide (AB, CS, DS) gleichsetzen und eben so die Schnittpunkt berechen und danach eben das Ganze einzeichen.

Bzw. dann von A nach dem Schnittpunkt zwischen DS und von B nach dem Schnittpunkt von CS die Länge ausrechnen und schauen, dass die gleich ist? Oder eben den Winkel zwischen AE1 und DS bzw. BE2 und CS ?

Edit: Zum 2. Normalenvektor...ich hatte vorher 2 statt -2 geschrieben, aber das macht in dem Fall beim Skalaprodukt ja sowieso nichts aus...habe hier auch mit -2 gerechnet gehabt.

02.06.2005, 22:00

riwe

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zu n: vergleiche mal die vorzeichen!
ja, bestimme die schnittpunkte von E mit den geraden durch DS und CS,
noch einmal: ich male diese bildchen zum anschauen, die eingetragenen punkte und werte sind berechnet (fehler sind menschlich)
werner

02.06.2005, 22:46

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ich sehe bei dem 2. Normalenvektor irgendwie nicht, wo da noch ein oder mehrere (?) Vorzeichen verkehrt sind bzw. sein sollen. *g*

- - -

Hm...ich weiß nicht wieso, aber ich bekomme irgendwie krumme Werte für den E2. *grummel*

Die Geradengleichungen:

$\begin{eqnarray*} g_{CS}:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}8\\-2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{DS}=\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja, dann zuerst mal $\begin{eqnarray*} g_{CS} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 10*(-1+8r)+(2-2r)+4*(5+r)=48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 82r=36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\frac{18}{41} \end{eqnarray*}$

Ich versteh's nicht bzw. seh nicht was falsch ist...glaube ich schaue dann erst morgen wieder..

Zur anderen Gerade:

$\begin{eqnarray*} g_{DS} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 10*(1+5s)+(-2+2s)+4*(1+5s)=48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 72s=36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=2 \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das einsetze, dann bekomme ich auch nicht den E2, den du hast...

02.06.2005, 23:00

riwe

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bei n hast du einmal - und das ist falsch! -
(4/-5/+2) und damit hast du den schnittwinkel berechnet, der ist also auch falsch, und das andere mal (4/-5/-2) und das ist richtig.

$\begin{eqnarray*} g_{cs}:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} 6 \\ 0\\ 6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die ist bei dir falsch (wegen des richtungsvektors)
$\begin{eqnarray*} g_{ds}:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} 6 \\ 0\\ 6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 5\\ 2 \\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die sollte richtig sein
(ich habe halt jedesmal S als aufpunkt genommen)
aber du hast recht, morgen ist auch noch ein tag
werner

02.06.2005, 23:16

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ja ich hatte für n zuerst (4/-5/2) geschrieben und mich in einem Posting danach korrigiert, da ich auch hier bei mir auf dem Papier den Normalenvektor mit (4/-5/-2) stehen habe, es war also im Prinzip ein Tippfehler.

Ich habe den Winkel hier bei mir auf dem Papier auch mit dem -2 gerechnet und wie ich oben geschrieben habe, macht es in dem Fall ja eh nichts aus. Im Nenner wird es quadriert, also das Vorzeichen egal und im Zähler hat der 1. Normalenvektor als z-Wert Null, also auch egal ob 2 oder -2. Aber wie gesagt, ich hatte hier sowieso mit -2 gerechnet und mich nur vertippt und das hatte ich ja auch geschrieben (s. Edit 1. Posting auf dieser Seite).

Gut, das mit den Geraden überprüfe ich (wohl morgen)nochmal...aber ich muss ja auch mit den Aufpunkten C und D auf das Ergebnis von dir kommen.

03.06.2005, 02:50

Poff

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...
...glaube ich schaue dann erst morgen wieder..

SkYfiGhTeR,

ich glaub du entwickelst fast die Qualitäten vom 'GrünenFrosch' . Augenzwinkern

Volumen V Pyramide, du hast drei RandPunkte A, B, C einer
unregelmäßigen Grundfläche G und die Spitze S, dann gilt für V
(modulo Vorz., und (A-B)x(A-C) ungleich Null )

V = ( (A-B)x(A-C)/|(A-B)x(A-C)| )*(B-S) *G/3 oder etwas übersichtl.

V = ((A-B)x(A-C)) * (B-S) * G/|(A-B)x(A-C)| *1/3

denk mal nach ob das stimmt und wenn ja, warum.
.

03.06.2005, 16:34

SkYfiGhTeR

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Hallo,

so...also bei Aufgabe d) und dem 2. Normalenvektor, der sollte ja dann wie gesagt stimmen und somit auch der Schnittwinkel...hatte ich ja oben ge- bzw. erklärt. *g*

So, nun zur Aufgabe f):

Die zweite Gerade war bereits richtig und die erste habe ich dann nun auch (hattte mich verrechnet):

$\begin{eqnarray*} g_{CS}:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{DS}:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann hat sich durch Einsetzen in die Koordinatengleichung der Ebene jeweils für r und für s 0,5 ergeben.

Das dann wieder in die jeweiligen Geradengleichungen eingesetzt ergab folgende Schnittpunkte:

$\begin{eqnarray*} E_1 (3,5/-1/3,5) \end{eqnarray*}$ (auf DS)

$\begin{eqnarray*} E_2 (2,5/1/5,5) \end{eqnarray*}$ (auf CS)

Wenn ich nun noch die Längen der Strecken $\begin{eqnarray*} AE_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BE_2 \end{eqnarray*}$ vergleiche, kommt beides auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{31,5}=5,6 \end{eqnarray*}$ - sind also gleich lang. Damit ist dann ja auch gezeigt, dass das Trapez gleichschenklig ist oder müsste ich nun noch einen Schnittwinkel ausrechnen ?

@Poff: In Ordnung, das schaue ich mir dann an, sobald ich die Aufgabe durch habe, aber das mit der Errechnung des Volumens habe ich ja sowieso auch ganz normal über V=1/3*G*h ausgerechnet - schaue es mir dann aber noch an. Augenzwinkern

Edit: Wie gehe ich denn bei Aufgabe g) am besten vor? Ich habe mir überlegt, dass ich das Trapez ABE1E2 als Grundfläche nehme und dann nehme ich noch die Höhe (Abstand der Ebene des Trapez bis zur Spitze S) und errechne so das Volumen (*1/3 eben noch). Jetzt frage ich mich nur gerade, wie ich die Fläche des Trapez ausrechnen soll. Allgemein ist es ja $\begin{eqnarray*} A_{Trapez}=\frac{1}{2}*(a+c)*h \end{eqnarray*}$ , bei uns hier dann also $\begin{eqnarray*} A_{Trapez}=\frac{1}{2}*(\vec{AB}+\vec{E_1E_2})*h \end{eqnarray*}$ . Nur wie bekomme ich nun die Höhe des Trapez raus? *g*

03.06.2005, 19:08

Poff

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Wenn ich nun noch die Längen der Strecken $\begin{eqnarray*} AE_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BE_2 \end{eqnarray*}$ vergleiche, kommt beides auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{31,5}=5,6 \end{eqnarray*}$ - sind also gleich lang. Damit ist dann ja auch gezeigt, dass das Trapez gleichschenklig ist oder müsste ich nun noch einen Schnittwinkel ausrechnen ?

ganz korrekt ist das noch nicht, KÖNNTE ja auch ein Parallelogramm
sein. Betonung lag auf 'könnte' !!

Edit: Wie gehe ich denn bei Aufgabe g) am besten vor? Ich habe mir überlegt, dass ich das Trapez ABE1E2 als Grundfläche nehme und dann nehme ich noch die Höhe (Abstand der Ebene des Trapez bis zur Spitze S) und errechne so das Volumen (*1/3 eben noch).

richtig.

$\begin{eqnarray*} A_{Trapez}=\frac{1}{2}*(|\vec{AB}|+|\vec{E_1E_2}|)*h \end{eqnarray*}$

die Höhe, z.B. die Entfernung der beiden Grundlinienmitten

03.06.2005, 19:42

SkYfiGhTeR

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Hi,

ja noch zur Aufgabe f) und dem Trapez bzw. dessen Gleichschenkligkeit, was ja eigentlich gezeigt werden soll.

Naja, wenn es ein Parallelogramm wäre, müssten die jedoch auch die Strecken AB und E1E2 gleich sein.

Jedoch:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix}-2\\4\\4\end{pmatrix}|=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{E_1E_2}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}|=3 \end{eqnarray*}$

Daher ist es kein Parallelogramm, sondern ein Trapez und zwar ein gleichschenkliges Trapez.

- - - - - -

Zu Aufgabe g):

Bevor ich erstmal weiter rechne, ich habe für die Höhe h des Trapez folgendes raus: $\begin{eqnarray*} \sqrt{29,25}=5,41 \end{eqnarray*}$ Stimmt das überhaupt, dieser krumme Wert ?

04.06.2005, 00:48

Poff

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g) ist richtig das h (wenn deine anderen Zahlen stimmen)

so siehts schöner aus, h = 3/2 * sqrt(13)

wenns nicht gerade abartig wird, ist's immer eleganter mit Brüchen
zu rechnen.
.

04.06.2005, 08:54

SkYfiGhTeR

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Hi,

jep...ich habe nun als Endergebnis für das Volumen von der Trapezebene/fläche bis zur Spitze raus: $\begin{eqnarray*} V_{Pyr. oben}=\frac{1}{3}*24,34*3,33=27,0174 \end{eqnarray*}$

Also im Prinzip dann die $\begin{eqnarray*} V_{Pyr. oben}=27 \end{eqnarray*}$ .

Mensch....das war aber nun irgendwie mit viel Rechenaufwand verbunden um an das Volumen zu kommen. *g*

Gibt's da eigentlich verschiedene Wege, weil das eben war glaub ich wirklich etwas arg aufwendig. *g*

Ich habe ja zuerst die Trapezfläche mal ausrechnen wollen. Und da ist ja erstmal das "Problem" die Höhe des Trapez.

Das habe ich dann über Hilfsebene und danach Lotfußpunkt als Schnittpunkt meiner Gerade (Grundseite) und der Hilfsebene gemacht und so dann den Abstand der beiden Punkte und damit von h ausgerechnet. Danach war die Fläche des Trapez ja erledigt. Ja nagut, dann eben für das Trapez als Grundfläche 'ne Normalengleichung der Ebene ABE1 aufgestellt und dann eben den Abstand bis zur Spitze ausgerechnet, dann hatte man die Höhe für das Volumen und dann war's fertig.
Ich denke das geht wohl nicht schneller, aber die Höhe des Trapez, bekommt man die noch irgendwie schneller als über Hilfsebene, Lotfußpunkt usw. ?

- - - - - - - - -

Hm...ich habe gerade keine Idee, wie ich bei der h) da anfangen könnte um das hinzubekommen, dass ich einen bzw. den Punkt finde der von den fünf Punkten A, B, C, D und S den gleichen Abstand hat?!

04.06.2005, 11:07

riwe

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also ich habe AE1 = 3/2sqrt(14) und V(oben)=27,000 nicht irgendwie 27,xyz
AB = 6; E1E2 = 3 paßt
und damit mit dem alten pythagoras h(trapez)=1/2*sqrt(117)
und die höhe der pyramide(oben) aus der HNF von E h = 36/sqrt(117)
gibt V = 27
werner

04.06.2005, 11:16

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ja öhm...also für die Höhe der Pyramide oben, habe ich ebenfalls aus der HNF: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{117}}*36=3,33 \end{eqnarray*}$ (gerundet)

Und eben die Höhe des Trapez für dessen Fläche (Grundfläche) habe ich wie oben geschrieben eben $\begin{eqnarray*} \sqrt{29,25} \end{eqnarray*}$ gehabt.

Naja, und das gibt für die Fläche des Trapez dann ja schon 'nen "krummen" Wert...aber wenn ich es mal "ungerundet" rechne, also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\frac{1}{2}*(6+3)*\sqrt{29,25}*\frac{1}{\sqrt{117}}*36=27 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Hatte eben die Fläche des Trapez vorher als Zahl direkt ausgerechnet und da gerundet und genauso bei der Höhe der Pyramide (oben), daher die Nachkommastellen.

Aufgabe h)...Tipp/Vorgehensweise?! *g* Ich weiß einfach nicht wie ich für diese Bedingung bzw. Bedingungen etwas aufstellen soll...gleicher Abstand von allen fünf Punkten..hmm...

04.06.2005, 12:56

riwe

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tip: wenn runden, dann erst ganz am schluß, nicht schon die zwischenergebnisse!
h) schaut viel komplizierter aus, als es wirklich ist, zunächst liegt dieser punkt aus symmetriegründen aud der senkrechten geraden durch den schnittpunkt der diagonalen des grundquadrates, da es sich um eine senkrechte (?) pyramide handelt, liegt auch S auf dieser geraden, wovon man sich überzeugt, indem man die gerade durch S mit (AB x AD) als richtungsvektor aufstellt.
na und jetzt hast du d(AP) = d(SP) und P liegt auf obiger geraden
(das kann man aus der skizze ablesen)

nur eine frage am rande: wieso/ warum rechnest du das alles? und woher hast du diese aufgaben?
werner

04.06.2005, 19:12

SkYfiGhTeR

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Hallo,

hm...alles klar. Also das habe ich so schon verstanden...die Gerade senkrecht auf die quadrat. Fläche durch Punkt S (6/0/6) wäre dann:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja und nun soll gelten: $\begin{eqnarray*} d(AP)=d(SP) \end{eqnarray*}$

Nur von Punkt P habe ich gar nichts...soll ich hier nun mal den Abstand von der Grundfläche der Pyramide und dem allg. Punkt P (x, y, z) und dem Abstand SP auch mit P (x/y/z) aufstellen und gleichsetzen? Das ginge ja nicht, da ich dann nicht den Abstand AP habe wenn ich von Ebene nach Punkt P mache. Also das ist nix..

Und $\begin{eqnarray*} d(AP)=d(SP) \end{eqnarray*}$ mit P (x/y/z) => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x-5\\y-2\\z+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-6\\y\\z-6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das bringt mir ja auch nicht wirklich was...

Das versteh ich noch nicht so..

- - -

Die Aufgaben sind z.T. direkt aus dem Mathe-Unterricht, die ich eh rechnen muss, meistens jedoch aber mach ich noch welche so (zur Übung eben), die sind dann aber trotzdem auch von Blättern vom Lehrer.

04.06.2005, 19:33

riwe

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ich habe geschrieben:
P liegt auch auf der geraden g: also x = 6 + 2r usw. einsetzen und mit d(AP) meinte ich
$\begin{eqnarray*} d(AP) =\mid \vec{AP} \mid \end{eqnarray*}$
=> links^2 = rechts^2, ergibt einen wert für r und damit die koo des punktes P
werner

04.06.2005, 20:02

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ja also Gerade:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x=6+2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=6+2r \end{eqnarray*}$

Das erhalte ich aus der Geraden...ist klar. Und wo soll ich das nun einsetzen? Der Punkt P liegt dann auch auf der Geraden..auch ok. Aber das kann ich ja jetzt nicht direkt als Koordinaten von P ansehen und dann in die geradengleichung einsetzen...da fällt ja r sowieso raus.

d(AP)=|AP| => Was nehme ich denn nun für P ? Die x-, y- und z-Werte, welche sich aus der Geradengleichung ergeben haben ?

Und wenn ich dann links d² habe und rechts was mir r², r usw. dann habe ich die eine Gleichung und kein r, sowie auch kein d ? *g*

04.06.2005, 20:20

riwe

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$\begin{eqnarray*} \mid\vec{AP}\mid=\mid\begin{pmatrix} x-5 \\ y-2\\ z+1\end{pmatrix} \mid=\mid\begin{pmatrix} x-6 \\ y \\ z-6 \end{pmatrix} \mid=\mid\vec{SP}\mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+2r \\ -r-2\\7+2r \end{pmatrix} ^{2}=\begin{pmatrix} 2r \\ -r\\ 2r \end{pmatrix} ^2\Rightarrow r=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
und dieser r in die geradengl. einsetzen gibt P!
hoffentlich
werner

04.06.2005, 20:46

Poff

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
wirklich etwas arg aufwendig. *g*

Ich habe ja zuerst die Trapezfläche mal ausrechnen wollen. Und da ist ja erstmal das "Problem" die Höhe des Trapez.

Das habe ich dann über Hilfsebene und danach Lotfußpunkt als Schnittpunkt meiner Gerade (Grundseite) und der Hilfsebene gemacht und so dann den Abstand der beiden Punkte und damit von h ausgerechnet. Danach war die Fläche des Trapez ja erledigt. Ja nagut, dann eben für das Trapez als Grundfläche 'ne Normalengleichung der Ebene ABE1 aufgestellt und dann eben den Abstand bis zur Spitze ausgerechnet, dann hatte man die Höhe für das Volumen und dann war's fertig.
Ich denke das geht wohl nicht schneller, aber die Höhe des Trapez, bekommt man die noch irgendwie schneller als über Hilfsebene, Lotfußpunkt usw. ??!

???

ich habs dir doch gepostet.

Weißt nicht wie die Mitten einer Strecke errechnet werden ?
Die Endpunkte hast doch schon gehabt ...
.

und ja, das Volumen ergibt exakt 27 !!
1/3 * 1/2 * 9 * 3/2 * sqrt(13) * 36/(3*sqrt(13))

04.06.2005, 21:05

SkYfiGhTeR

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Hallo,

also:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x=6+2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=6+2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(AP)=d(SP) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} |\vec{AP}|=|\vec{SP}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x-5\\y-2\\z+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-6\\y\\z-6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+2r \\ -r-2\\7+2r \end{pmatrix} ^{2}=\begin{pmatrix} 2r \\ -r\\ 2r \end{pmatrix} ^2\Rightarrow r=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

So, und nun:

$\begin{eqnarray*} (1+2r)^{2}+(-r-2)^{2}+(7+2r)^{2}=(2r)^{2}+(-r)^{2}+(2r)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+4r+4r^{2}+r^{2}-4r+4+49+28r+4r^{2}=4r^{2}+r^{2}+4r^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 38r=-54 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=-1,5 \end{eqnarray*}$

Das in die Gerade eingesetzt ergibt dann unseren Punkt: $\begin{eqnarray*} P (3/1,5/3) \end{eqnarray*}$

Erst hatte ich mich noch verrechnet, aber hab's gefunden...*g*

Dankeschön. Augenzwinkern

- - - - -

@Poff: Ja, das mit den exakt 27 habe ich ja auch rausbekommen, halt auf meinem wohl etwas längerem Weg, aber immerhin! *g*
Und die Mitte einer Strecke ist ja einfach nur, als wenn wir AB nehmen z.B., dann mach ich eben AB/2 ? *g*

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