Doppelintegrale

25.05.2005, 21:08

Kalle123

Doppelintegrale

Hallo,

sitzte nun vor meiner Matheübung und komme mit doppelintegralen nicht klar. War ne Woche krank und bin ein bißchen verwirrt.

zur Aufgabe:
habe ne Fläche A die eingschlossen ist von den Graphen
G1(x)=x² und g2(x)= x
sein. Das ganze ist beschränkt für 0<x<1
Soll das ganze jetzt mit hilfe eines Doppelintegrals berechnen.
hab da aber nur was für mehere Variablen.
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x,y)~dx = \int_{a}^{b}~[\int_{a}^{b}~f(x,y)~dy] dx \end{eqnarray*}$
das am anfang soll nen doppelintegral sein.
kann ich das auf die aufgabe anwenden?? und wenn ja wie kann ich da ansetzen??
vielen leiben dank

25.05.2005, 21:21

Mathespezialschüler

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Ein Doppelintegral ist bei der Aufgabe doch völlig übertrieben! Wie wäre es denn einfach mit

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~x-x^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

?? Augenzwinkern

Deine letzte Gleichung ist übrigens ziemlich falsch. Meinst du nicht, dass da noch ein Integral fehlt (+ ein paar Voraussetzungen)?

Gruß MSS

25.05.2005, 21:25

Kalle123

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ich soll in aufgabe b zeigen dass das hierbei auch mit der differenz der einzelintegrale geht. wie wäre denn der ansatz für das doppelintegral bei dieser aufgabe?

25.05.2005, 21:32

Mathespezialschüler

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Ich hätte gar keine Idee, warum und wie man das hier mit einem Doppelintegral lösen soll!!
Ich hab das Gefühl, dass "Doppelintegral" hier eine andere Bedeutung haben soll, und zwar eine ziemlich triviale. Allerdings würde ich das Integral oben nicht als Doppelintegral bezeichnen.

Gruß MSS

25.05.2005, 21:39

etzwane

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Vielleicht so ?

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^1~\int_{x^2}^{x} dy~dx \end{eqnarray*}$

25.05.2005, 21:45

Kalle123

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In der Aufgabe steht halt nur dass ich das ganze Skizzieren soll und dann mit hilfe eines Doppelintegrals das ganze lösen soll. Dann soll ich zeigen dass man das Resultat auch bekommt wenn man dass aus der differenz der Einzelintegrale erhält

25.05.2005, 21:53

Kalle123

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kling gut @ etzwane
sowas habihc auch in meinen Vorlesungsskripten.

und integrier ich das ganze jetzt so als wenn ich ne 1 vorm dx dy stehen hab?

25.05.2005, 21:59

kalle123

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ich habs glaub ich also wenn ich das erste integral auflöse
bekomme ich

integral von 0-1 (x²-x)

weil ich in y die Grenzen einsetze

wenn ich dass dann nach dx integrieren bekomm ich 1/6tel raus richtig???

25.05.2005, 22:01

etzwane

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Genau, und jetzt zur Kontrolle:

mit Doppelintegal
$\begin{eqnarray*} A = \int_0^1 (\int_{x^2}^{x} dy)~dx=\int_0^1 (x-x^2)~dx = [\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

mit Einzelintegralen
$\begin{eqnarray*} A = \int_0^1 x~dx - \int_0^1 x^2~dx = [\frac{x^2}{2}]_0^1 - [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

25.05.2005, 22:10

Mathespezialschüler

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Ich finde es sinnlos, das so in ein Doppelintegral umzuschreiben, um hinterher doch wieder auf $\begin{eqnarray*} \int_0^1~x-x^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ zurück zu kommen.
Und dass für integrierbare $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)-g(x)~\mathrm{d}x=\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x-\int_a^b~g(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

ist, dürfte als Trivialität bekannt sein.

Gruß MSS

25.05.2005, 22:36

Kalle123

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Vielen lieben Dank
für die schnelle hilfe.

25.05.2005, 22:39

Kalle123

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Muss ich dem Mathespezialschüler schon recht geben. aber ist halt ne übung und es geht um die Anwendung des Doppelintegrals. ob es nun sinn macht und nicht entscheidet in diesem Fall mein prof.

auch dir vielen dank

25.05.2005, 22:47

Leopold

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Du hast natürlich recht, daß bei dieser Aufgabe "mit Kanonen auf Spatzen geschossen wird". Trotzdem könntest du Klammern um die Summen setzen ...

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \int_0^1~x-x^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)-g(x)~\mathrm{d}x=\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x-\int_a^b~g(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

25.05.2005, 22:54

Mathespezialschüler

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Hallo Leopold!

Ich denke, bei Summenzeichen, z.B. bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(2k-1) \end{eqnarray*}$ , sind Klammern auch sinnvoll und notwendig. Bei Integralen sehe ich das etwas anders, da der Integrand eindeutig durch die beiden Zeichen $\begin{eqnarray*} \int_a^b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ eingegrenzt wird, womit mMn Klammern nicht notwendig sind! Denn dadurch seh ich dort auch keine andere Deutungsmöglichkeit. Augenzwinkern

Gruß MSS

26.05.2005, 00:58

Leopold

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Dann hast du den Sinn des Differentials nicht verstanden: Das Differential ist nicht nur das Zeichen, welches das Integral abschließt, sondern es ist in einer formalen Multiplikation mit dem Integranden verbunden. Ganz deutlich wird das im Substitutionskalkül. Substituiere doch in deinem falsch geschriebenen Integral einmal $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{t} \, , \ \mathrm{d}x = \frac{1}{2 \sqrt{t}} \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ , so bekommst du auch ein falsches Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~x - x^2~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^1~\sqrt{t}-t \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2} \int_0^1~\sqrt{t}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

FALSCH!

Und falls du so gerechnet hättest:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~x - x^2~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^1~\sqrt{t}-t \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2}\int_0^1~1 - \sqrt{t}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

würdest du es auch nicht besser machen als der Schüler, der bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x \end{eqnarray*}$ den Wert für $\begin{eqnarray*} x=t+1 \end{eqnarray*}$ berechnen soll und so rechnet:

$\begin{eqnarray*} f(t+1) = 2t+1 = 2t+2 \end{eqnarray*}$

Irgendwie erkennt er das Produkt, er macht es aber nicht durch eine Klammer sichtbar. Es ist halt falsch.

26.05.2005, 01:25

Mathespezialschüler

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Da hast du natürlich absolut Recht. Natürlich ist mir die Bedeutung des Differentials in diesem Zusammenhang völlig klar! Nur habe ich bisher noch nicht daran gedacht, dies bei Summen als Integranden umzusetzen, weil ich es beim Schreiben des Integrals an sich nicht auf diese Bedeutung des Differentials angelegt hatte. Soll heißen: Das war mir dann zu den Zeitpunkten nicht so bewusst.
Aber es lassen ja auch viele weg. Entweder, weil sie es nicht wissen, weil es kürzer ist oder weil sie der Meinung sind, man müsste keine Klammern setzen. Das mit dem Produkt mit unendlich kleinen Größen ist ja mehr oder weniger auch nur eine geschichtliche Sache. Und außerdem ist es letztendlich ja auch wieder eine Definitionsfrage: Ich kann ja einfach

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)-g(x)~\mathrm{d}x:=\int_a^b~(f(x)-g(x))~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

setzen und damit meine Schreibweise 'legitimieren'. Aber ab jetzt werde ich trotzdem die Klammern setzen - dank deiner Bemerkung. Augenzwinkern

Gruß MSS

26.05.2005, 18:11

iammrvip

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@MSS
Ich finde diese Aufgabe nicht sinnlos.

So wir ich das sehe soll Kalle123 richtig verstehen, wie man auf den Ansatz von etzwane kommt, um danach Integrale, die diese Vorgehensweise wirklich benötigen, lösen können.

Nehme man zum Beispiel die Kugel $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \end{eqnarray*}$ , dann hat diese das Volumen

$\begin{eqnarray*} V = \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}\left(\int\limits_{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}\mathrm dz\right)\mathrm dy\mathrm dx = \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^R 2\sqrt{R^2 - r^2}r\mathrm dr\mathrm d\varphi = \frac{4}{3}\pi R^3. \end{eqnarray*}$

(unter Verwendung von Polarkoordinanten $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ )

Deshalb ist es gut sich das erst an einfachen Beispielen zu verdeutlichen.

Das Beispiel ist jetzt zwar ein Dreichfachintegral, aber mir fällt im Moment kein besseres ein...

@Kalle123
Male die am besten mal eine Skizze des Schaverhalts und bedenke, wie man die Grenzen dann findet. So geht es am schnellsten, wenn man das noch wenig geübt hat.

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