Ähnlichkeit von Darstellungsmatrizen

27.05.2005, 12:19	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeit von Darstellungsmatrizen Sei f: (x,y,z) --->(-5x-18y-24z, 4x+13y+16z, -2x-6y-7z) eine Abbildung von IR^3 nach IR^3. Berechne $\begin{eqnarray} _BM_{B'}(Id) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} _{B'}M_B(Id) \end{eqnarray}$ . Also das $\begin{eqnarray} _BM_B(Id)=_{B'}M_{B'}(Id)=E_n \end{eqnarray}$ (=Einheitsmatrix) ist, ist klar; Frage: Ist es möglich, dass $\begin{eqnarray} _BM_{B'}(Id) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} _{B'}M_B(Id) \end{eqnarray}$ , auch eine Matrix rauskommt, die man in die Einheitsmatrix umwandeln kann? (also eine Basis?) oder hab ich mich einfach nur verrechnet? Vielen Dank im Voraus!
27.05.2005, 12:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn das $\begin{eqnarray} {}_B M_{B'} (\operatorname{id}) \end{eqnarray}$ bedeuten? Soll hier die Identität mit einer Matrix beschrieben werden, wobei man sich bei den Urbildern auf die Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , bei den Bildern auf die Basis $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ bezieht? Oder was soll das sonst bedeuten? Laß uns doch hier nicht so viel raten! Und vor allem: Wo ist der Zusammenhang zu deiner eingangs angegebenen Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ?
27.05.2005, 13:01	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
`Tschuldigung, ich vergaß die Basen B und B´ von IR^3 zu definieren... Zur Abbildung f sind die Basen B={(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)} und B´={(3,-1,0),(-1,-1,1),(-3,2,-1)} gegeben. Sei S= $\begin{eqnarray} _BM_{B'}(Id) \end{eqnarray}$ die Darstellungsmatrix der Identität bezüglich der Basen B und B´, und T= $\begin{eqnarray} _{B'}M_B(Id) \end{eqnarray}$ die Darstellungsmatrix der Identität bez. der Basen B´und B. ..Ich hab´grade die Stelle im Buch gefunden wo steht dass die Produkt TS und ST immer die Einheitsmatrix ergeben. Jetzt hab´ ich aber als Ergebniss, dass S und T selbst schon die Einheitsmatrizen sind, und frag´mich ob das sein kann...
27.05.2005, 13:21	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo der Zusammenhang zu f ist, weiß ich auch nicht. Aber $\begin{eqnarray} _BM_B'(id) \end{eqnarray}$ ist ganz einfach die Basiswechselmatrix von der Basis B in die Basis B'. Wenn du nach "Basiswechselmatrix" googlest, dann bekommst du viele Antworten.
27.05.2005, 13:28	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einzige Zusammenhang ist wohl dass die Berechnung von $\begin{eqnarray} _BM_{B'}(f) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} _{B'}M_B(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} _BM_{B'}(Id) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} _{B'}M_B(Id) \end{eqnarray}$ in der gleichen Aufgabe über die gleichen Basen stehen. Ist ja logisch: die Identität ist ja eine Abbildung für sich! Danke auf jeden Fall.
27.05.2005, 14:46	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wie rum die Notation $\begin{eqnarray} _BM_C(\varphi) \end{eqnarray}$ bei euch definiert wurde aber so würde ich es machen: 1.) $\begin{eqnarray} _BMB'(f) \end{eqnarray}$ (Hiervon war in deinen vorherigen Posts übrigens nie die Rede, deshalb der fehlende Zusammenhang zu f): Du nimmst die Basisvektoren $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ von B und bildest sie durch f ab: $\begin{eqnarray} w_i = f(b_i) \end{eqnarray}$ Jetzt machst du eine Linearkombination von den Basisvektoren von $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} w_i \end{eqnarray}$ darzustellen. Die Koeffizienten der Linearkombination schreibst du in einen Vektor (Koeffizientenvektor). Dieser Vektor ist die i-te Spalte der gesuchten Matrix. Für eine Basiswechselmatrix $\begin{eqnarray} _BM_B'(id) \end{eqnarray}$ gehst du genauso vor. Nur musst du diesmal die Basisvektoren von B nichtmehr durch f abbilden. Du suchst also die Koeffizienten der Linearkombination, die einen Vektor aus B durch die Vektoren aus B' darstellt. [Achtung: Evt. auch genau andersrum, je nach Definition]
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