Konvergenz - Seite 2

13.09.2011, 08:50

klarsoweit

Zitat:

Original von totti
Das ist mir soweit alles klar, allerdings verstehe ich die nächste Teilfolge nicht ganz.

Wenn ich doch sehe $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

Und erst $\begin{eqnarray*} a_5=1 \end{eqnarray*}$ ist wieder 1, so nehme ich doch an, dass es jetzt heißen muss:
$\begin{eqnarray*} a_{4k}=sin(4k\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

Allerdings würde es dann nicht aufgehen.
Denn ich bin der Meinung, jede 4. Zahl ist doch 1?!?!

oder bin ich da auf dem falschem Dampfer?

Deinen Gedankengang verstehe ich nicht. Wie du richtig sagst, ist a_1 = a_5 = a_9 = ... = 1.
Mit $\begin{eqnarray*} a_{4k}=sin(4k\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$ erreichst du aber diese Folgenglieder nicht, sondern die Glieder a_4, a_8 usw.

Du mußt also die Teilfolge c_k schon wie folgt definieren:
$\begin{eqnarray*} c_k := a_{4k+1} = sin((4k+1) \cdot \frac \pi 2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von totti
Davon mal abgesehen, kann man die Aufgabe auch schon lösen indem man schreibt, Eine folge mit mehreren (unterschiedlichen) Häufungspunkten kann nicht konvergieren.

Das kann man zwar schreiben, weil Papier geduldig ist. Man sollte aber schon noch beweisen, daß die Folge tatsächlich unterschiedliche Häufungspunkte hat. Und in meinem Beweis habe ich letztlich nichts anderes gemacht.

Zitat:

Original von totti
Denn in der Aufgabe steht nichts von Beweisen sonder Untersuchen Sie.

Das ist aber praktisch das gleiche. Wenn man etwas untersucht, muß man die Ergebnisse auch begründen (= beweisen).

Zitat:

Original von totti
Denn die Häufungspunkte sind ja 0,1,-1

Auch wenn das stimmen sollte, würde ich es gerne Beweisen, nur fehlt mir ein wenig der Durchblick für die 2. Teilfolge!

2 mögliche Teilfolgen habe ich angegeben. Da mußt du schon konkreter werden, wo dir da der Durchblick fehlt.

13.09.2011, 10:36

totti

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Danke erstmal für deine Antwort =)

Ich denke ich habe schon den ersten fehler gemacht, da ich $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ nicht mit einbezogen habe.

Jetzt zu meiner Frage,

wie kann bei dieser Folge dann $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ rauskommen?

Obwohl oder soll das heißen, wenn ich von 1 Starte und dann immer 4 weiter gehe, dass ich dann auf die gewünschten Teilfolgen $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_5 \end{eqnarray*}$ ...

komme?!
Dann würde es für mich dann auch Sinn ergeben.

$\begin{eqnarray*} c_k=a_{4k+1}=sin((4k+1)*\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} c_k=a_{4k+1}=sin(2k*\pi +\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_k=a_{4k+1}=sin(2k*\pi +\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

Ich denke das ich es verstanden habe, wenn das was ich oben geschrieben habe, richtig ist?!

13.09.2011, 11:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
wie kann bei dieser Folge dann $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ rauskommen?

Meinst du die Folge $\begin{eqnarray*} c_k=a_{4k+1}=sin((4k+1)*\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$ ?

Da ist c_0 = a_1 . Nun ja, ok, wenn man haben will, daß k nur aus den natürlichen Zahlen stammt, dann ist in der Teilfolge c_k das a_1 nicht enthalten. Aber was soll's. Eine konvergente Teilfolge ist es trotzdem. Aber wenn du magst, kannst du auch $\begin{eqnarray*} c_k = a_{4k-3} = sin((4k-3)*\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$ nehmen.

13.09.2011, 15:13

totti

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Alles kalr, das macht jetzt auch Sinn=)

Dann habe ich es verstanden, denn man will schließlich nur eine Teilfoge haben und da ist es sowiet ich weiß, nicht unbedingt erforderlich, dass man C_k = 0 bzw a_1 dabei hat.

Danke...

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