Konvergenz

09.01.2008, 13:17

gabbo

Konvergenz

untersuchen sie die folge mit dem allgemeinen glied

$\begin{eqnarray*} a_n=sin~ n\frac{\pi}{2}~mit~ n\in \mathbb N ^{*} \end{eqnarray*}$

auf konvergenz.

ich habe die lösung in einem anderen forum gefunden, aber keine ahnung was da los ist, da steht dieses>>lim<<und vom abscheiben hab ich auch nichts...???????????

verwirrt

09.01.2008, 13:25

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RE: konvegenz
Ob da lim (steht für Limes) steht oder was auch immer, ist völlig belanglos. Entscheidend ist, daß du eine Idee entwickelst, was mit der Folge los ist. Helfen kann da, daß du mal die ersten Folgenglieder aufschreibst. smile

10.01.2008, 10:02

gabbo

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ok,

0=0

1=0,027

2=0,054

3=0,082

1234=0,664

also steigend!!!!

jetzt bin ich mir bei der unteren grenze nicht sicher ob das die 0 oder die 1 sein soll.
aber wenn diese folge konvergent sein soll muss auch eine obere schranke vorhanden sein, nur wie findet man sowas heraus???????

grenzwertsatz hört sich gut an!!

verwirrt

10.01.2008, 10:12

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Zitat:

Original von gabbo
1=0,027

Hää? Was ist denn $\begin{eqnarray*} sin(\frac \pi 2) \end{eqnarray*}$ ?

Die anderen Werte (außer der für Null) sind auch nicht besser.

10.01.2008, 10:18

gabbo

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tja, das kommt bei mir raus ich tippe für 1, pi : 2 und dann sin taste!!!
die 0 fällt als untere schranke weg, da in der aufgabe N* steht.

verwirrt

10.01.2008, 10:23

gabbo

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wenn ich meinen rechner auf RAD stelle, kommt 1,0,-1,0,1,0.....

verwirrt

10.01.2008, 10:25

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Das sieht schon besser aus. Und im übrigen sind das Standardwerte für den Sinus. Da braucht man keinen Taschenrechner. Wie sieht es nun mit der Konvergenz aus?

10.01.2008, 10:49

gabbo

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oh, jetzt bin ich überfordert, woher soll man das mit dem RAD wisen, das war nur geraten.

nun, gerade zahlen =1, ungerade =0.

was das mit 3=-1 auf sich hat weiss ich nicht, aber ich denke mal -1 untere und 1 obere grenze.

verwirrt

10.01.2008, 11:40

gabbo

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n= \lim_{n \to \infty }sin~ n\frac{\pi}{2}=???? \end{eqnarray*}$ was soll da als egebnis hin??? obere grenze oder sowas??

so, das habe ich schonmal, aber jetzt brauche ich noch eine folge b(n), wo soll die denn nun herkommen?

verwirrt

10.01.2008, 11:49

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Zitat:

Original von gabbo
oh, jetzt bin ich überfordert, woher soll man das mit dem RAD wisen, das war nur geraten.

Das ist die generelle Konvention. Winkel in Gradmaß werden mit einem ° angegeben, also beispielsweise 30°.

Zitat:

Original von gabbo
nun, gerade zahlen =1, ungerade =0.

Wie kommst du darauf? Schau dir das nochmal genau an.

Zitat:

Original von gabbo
aber ich denke mal -1 untere und 1 obere grenze.

Das stimmt zwar, ist aber auch kein Wunder, da der Sinus generell nach unten durch -1 und nach oben durch 1 beschränkt ist. Hier geht es aber darum, ob die Folge konvergent ist oder nicht. Dazu solltest du erstmal eine Entscheidung treffen. Die Begründung ist dann der nächste Schritt.

10.01.2008, 12:01

gabbo

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1=1
2=0
3=-1
4=0
5=1
6=0

naja vertippt ungerade =1,oder -1 / gerade=0

10.01.2008, 12:02

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Und jetzt die Frage: konvergent, ja oder nein?

10.01.2008, 12:13

gabbo

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ich kann jetzt einfach sagen" ja, ist konvergent, sranke oben 1 und unten -1".
doch fehlt jetzt der beweis mit irgendwelchem formel hin und her und da komme ich nicht mit!!!

verwirrt

10.01.2008, 12:33

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1. Frage: muß eine beschränkte Folge konvergent sein?
2. Frage: wenn diese Folge konvergent ist, welchen Grenzwert hat sie dann?

11.01.2008, 09:03

gabbo

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1:jede monoton wachsende folge und nach oben beschränkte folge ist konvergent.

2:nach meinen errechneten gliedern ist die obere grenze 1 und die untere, die dann für die konvergenz unwichtig ist -1.

aber diese folge ist mit 0,1,0,-1,0,1,0,1..... nicht monoton steigend!!! also ist sie nicht konvergent. nur wie das jetzt bewiesen werden soll ist mir unklar!!

verwirrt

11.01.2008, 09:31

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Zitat:

Original von gabbo
1:jede monoton wachsende folge und nach oben beschränkte folge ist konvergent.

Stimmt.

Zitat:

Original von gabbo
2:nach meinen errechneten gliedern ist die obere grenze 1 und die untere, die dann für die konvergenz unwichtig ist -1.

Stimmt auch.

Zitat:

Original von gabbo
aber diese folge ist mit 0,1,0,-1,0,1,0,1..... nicht monoton steigend!!! also ist sie nicht konvergent. nur wie das jetzt bewiesen werden soll ist mir unklar!!

Stimmt zur Hälfte. Aus der Nicht-Monotonie folgt nicht die Nicht-Konvergenz. Anders gesagt: auch nicht monotone Folgen können konvergieren.

In diesem Fall konvergiert die Folge tatsächlich nicht. Eine Beweisidee, wäre 2 konvergente Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten zu bennenen.

11.01.2008, 09:42

gabbo

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......wäre 2 konvergente Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten zu bennenen. ???

wie soll sowas aussehen??

ich denke der grund weshalb ich das alles nicht so schnell begreife ist die art der sprache die diese bücher verwenden!!!!!!!

verwirrt

11.01.2008, 09:47

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Du gibst halt das Bildungsgesetz für 2 Teilfolgen an, zum Beispiel eins, das die Teilfolge 0; 0; 0; ... beschreibt.

11.01.2008, 10:00

gabbo

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also jetzt weiss ich überhauptnichtmehr was los ist, n-n=0 ich würde gerne mal mein buch an alle schicken die hier versuchen mir helfen!!!!

ich komme da leider nicht mit!!!!

soll das jetzt der grenzwertsatz für quotientenfolgen sein??

am besten wäre es, wenn ich mir prof.lesch in haus hole!!!

verwirrt

11.01.2008, 10:21

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RE: Konvergenz
Ja, das Buch würde mich mal interessieren.

Also deine Folge sieht doch so aus:

$\begin{eqnarray*} a_n = sin(n\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

Schreiben wir das mal als Tabelle auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... \\ a_n & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, sind die a_n = 0 zu jedem geraden n. Also nehmen wir die Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{2k}) \end{eqnarray*}$ und stellen tatsächlich fest, daß gilt $\begin{eqnarray*} a_{2k} = sin(2k\frac{\pi}{2}) = sin(k \cdot \pi) = 0 \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt habe ich dir das schön vorgerechnet. Jetzt mußt du noch eine Teilfolge finden, bei der immer der Wert 1 rauskommt.

Das Problem, was ich mit dir habe, ist, daß du recht große Wissenslücken hast, und daß du diese aus irgendwelchen Gründen auf irgendeinem ominösen Weg im Do-It-Yourself-Verfahren schließen willst. Das funktioniert aber im Normalfall nur dann, wenn man im Lesen mathematischer Texte einigermaßen geübt ist. Das nächste Problem ist, daß ich nicht abschätzen kann, welches Vorwissen (Schulbildung etc.) du überhaupt mitbringst. Ob du zum Beispiel solche Begriffe wie "Teilfolgen" kennst und auf Zusammenhänge wie die, daß eine Folge nicht konvergiert, wenn sie zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten hat, zurückgreifen kannst. Wenn dem nicht so ist, müssen wir ganz andere Beweisansätze verfolgen und im Grunde erstmal intensiv dein Buch studieren, um zu wissen, worauf man überhaupt aufbauen kann.

11.01.2008, 10:24

gabbo

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was ist k für eine zahl????

das buch kann ich mal nen bisschen einscannen!!!!

verwirrt

11.01.2008, 10:34

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k ist eine natürliche Zahl (meinetwegen mit Null).
Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{2k}) \end{eqnarray*}$ besteht somit aus den Elementen $\begin{eqnarray*} a_0, a_2, a_4, ... \end{eqnarray*}$ und ist damit eine Teilfolge der Folge (a_n).

11.01.2008, 10:45

gabbo

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sin (n+1-n * pi/2)=1

verwirrt

11.01.2008, 10:50

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Es hat auch wenig Sinn, wenn du einfach willenlos irgendwelche Gleichungen hinknallst. Falls du $\begin{eqnarray*} sin(n+1-n \cdot \frac{\pi}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$ meinst, so sieht man für n=0 sofort, daß da $\begin{eqnarray*} sin(1) = 1 \end{eqnarray*}$ steht, was natürlich falsch ist. $\begin{eqnarray*} sin(n+1-n \cdot \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ hat mit deiner Folge $\begin{eqnarray*} sin(n \cdot \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ auch nichts mehr zu tun.

11.01.2008, 11:04

gabbo

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wen ich das n weglasse kommt immer 1 raus sin pi/2=1

11.01.2008, 11:13

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Wenn du das n wegläßt, hast du keine Folge mehr.

11.01.2008, 11:18

gabbo

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2k ist mir klar so bekomme ich immer eine gerade zahl und wenn ich 2k-1 nehme ist die immer ungerade!!!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=\lim_{n \to \infty }(sin 2n\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } b_n=\lim_{n \to \infty }(sin (2n-1)\frac{\pi}{2})=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n+b_n)=\lim_{n \to \infty }(sin\frac{\pi}{2}(2n+2n-1)=0+1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=\lim_{n \to \infty }(-1)=0-1=-1 \end{eqnarray*}$

jetzt weiss ich erstmal nicht weiter.

verwirrt

11.01.2008, 11:25

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Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } b_n=\lim_{n \to \infty }(sin (2n-1)\frac{\pi}{2})=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin((2n-1)\frac{\pi}{2})=1 \end{eqnarray*}$ stimmt so nicht.
Für n=1 kommt 1 raus, für n=2 kommt -1 raus.

11.01.2008, 11:40

gabbo

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also darf keine 3 vorkommen, da kann man ja 6n-1 benutzen!!!!

verwirrt

11.01.2008, 11:58

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Munteres Ratespiel. n=2:

Es ist $\begin{eqnarray*} sin(11 \cdot \frac{\pi}{2}) = -1 \end{eqnarray*}$

Du hast soviel Ahnung vom Sinus wie ich von Melkmaschinen. smile

11.01.2008, 12:04

gabbo

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ja dann weiss ich auch nicht weiter, ich weiss nur soviel, daß ich beweisen soll, daß die gegebene folge nicht konvergent ist, weil sie ja nicht monoton ist.
ich muss also irgenwie zeigen das dem ersten glied ein kleineres und dem zweiten ein grösseres, dann wiede ein kleineres usw. folgt.

verwirrt

11.01.2008, 12:44

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Zitat:

Original von gabbo
ja dann weiss ich auch nicht weiter, ich weiss nur soviel, daß ich beweisen soll, daß die gegebene folge nicht konvergent ist, weil sie ja nicht monoton ist.

Nochmal: die Nicht-Monotonie ist keine Begründung für die Nicht-Konvergenz. Vergeß also einfach alle Monotonie-Überlegungen.

Zitat:

Original von gabbo
ich muss also irgenwie zeigen das dem ersten glied ein kleineres und dem zweiten ein grösseres, dann wiede ein kleineres usw. folgt.

Nein. Wie schon mehrfach gesagt mußt du eine Teilfolge finden, die konvergiert und am besten nicht gegen Null, da wir dafür schon eine Teilfolge haben. Eine geeignete Teilfolge wäre (1; 1; 1; ...) da ja die 1 immer wieder in deiner Folge vorkommt. Das einzige, was nur noch zu tun wäre, ist ein geeignetes Bildungsgesetz auf Basis der Ursprungsfolge zu finden. Zähle dazu, nach wievielen Folgengliedern die 1 wiederkommt.

11.01.2008, 20:39

gabbo

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ok, habe jetzt erstmal nen bisschen sin gelernt!!!

also pi/2 sind 90° =1

2xpi/2 sind 180°=0

3xpi/2=-1

4xpi/2=0 weil es wieder der ausgangspunkt ist wie pi/2 bei 0°

also dürfen die 270° nicht vorkommen!!

$\begin{eqnarray*} sin[(n+ \frac{1}{4})\cdot2\pi] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sin[ \frac{(4n+1)}{4}\cdot2\pi] \end{eqnarray*}$

jetzt muss sich die folge a_n der 1 nähern und b_n muss sich der 0 nähern (nullfolge)

(a_n+b_n)=0+1=1

(a_n-b_n)=0-1=-1???

(a_n x b_n)=0 x 1=0

(a_n:b_n)=0:1=0

jetzt habe ich mit hilfe der grenzwertsätze die grenzwerte bestimmt, also 1 und 0, aber da eine konvergente folge monoton ist und monotone folgen keine obere grenze haben (wenn steigend), kann die folge nicht konvergent sein.
um sicher zu gehen; konvergenz heisst also, die annäherung an einen grenzwert, der aber nicht erreicht wird???
und wenn wie in der aufgabe das ergebnis sich immer um einen punkt hin und her bewegt, hier 0, dann müsste sie doch divergent sein????

verwirrt

12.01.2008, 12:50

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Zitat:

Original von gabbo
also dürfen die 270° nicht vorkommen!!

Nun ja, wenn man will, daß der Sinus nur den Wert 1 annimmt, dann dürfen 0° und 180° auch nicht vorkommen.

Mit $\begin{eqnarray*} sin[(n+ \frac{1}{4})\cdot2\pi] \end{eqnarray*}$ haben wir nun eine passende Teilfolge, denn es ist $\begin{eqnarray*} sin[(n+ \frac{1}{4})\cdot2\pi] = sin(n \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$

Der Rest von dem Beitrag ist dann wieder grober Unfug. Gibt es einen vernünftigen Grund, warum du jetzt die Teilfolgen miteinander addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst? verwirrt

Du hast nun 2 Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten. Also konvergiert deine Folge nicht. Punkt. Aus. Ende.

Zitat:

Original von gabbo
konvergenz heisst also, die annäherung an einen grenzwert, der aber nicht erreicht wird???

Nicht sauber. Konvergenz heißt die beliebige Annäherung einen Grenzwert. Punkt. Der Grenzwert kann auch erreicht werden. Beispielsweise ist die Folge (1; 1; 0,5; 0; 0; 0; ....) konvergent.

Zitat:

Original von gabbo
und wenn wie in der aufgabe das ergebnis sich immer um einen punkt hin und her bewegt, hier 0, dann müsste sie doch divergent sein????

Ja, darauf haben wir die ganze Zeit hingearbeitet. Die Folge ist nicht konvergent, mithin also divergent.

12.01.2008, 14:16

gabbo

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eigentlich wurschtel ich mir formel so zurecht das herauskommt was ich möchte, wo ist denn das ein beweis und wenn ich nur die 0 und die 1 angebe, fehlt doch noch -1.
das mit dem + - x : steht bei mir als grenzwertsätze und ich dachte das wäre die schreibweise dafür, obwohl ich jetzt wo das alles wegfällt auch noch wissen muss wie die schreibweise für meine aufgabe aussehen soll.

Zitat:

Original von gabbo
wen ich das n weglasse kommt immer 1 raus sin pi/2=1

12.01.2008, 16:52

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Zitat:

Original von gabbo
eigentlich wurschtel ich mir formel so zurecht das herauskommt was ich möchte, wo ist denn das ein beweis und wenn ich nur die 0 und die 1 angebe, fehlt doch noch -1.

Man merkt deutlich, daß du rumwurschtelst, ohne genau zu wissen, was du machst und wozu du das machst.

Nochmal ein paar grundsätzliche Dinge zu Folgen:
Wenn eine Folge gegen einen Grenzwert g konvergiert, dann konvergiert jede Teilfolge dieser Folge ebenfalls gegen den Grenzwert g.

Umgekehrt: Sollte man zu einer Folge 2 (in Worten: zwei) Teilfolgen finden, die jeweils konvergieren und deren Grenzwerte sich jedoch unterscheiden, dann ist die ursprüngliche Folge nicht konvergent.

Und genau dieses (und nicht irgendeinen deiner eingescannten Grenzwertsätze, die zwar auch schön sind, uns aber hier nicht helfen) haben wir ausgenutzt. Wir brauchen nur 2 konvergente Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten angeben. Punkt. Daß es noch eine weitere konvergente Teilfolge gibt, ist zwar schön, aber nicht weiter von Belang.

13.01.2008, 23:08

gabbo

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jetzt habe ich einmal für gerade und für ungerade zahlen dargestellt, der dritte grenzwert -1 ist dabei wohl unwichtig.

nur ich finde keine schreibweise!!!

verwirrt

14.01.2008, 08:41

klarsoweit

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Meine Güte. Du mußt doch nur den bislang diskutierten Kram zusammenfassen:

Behauptung: Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = sin(n \cdot \frac \pi 2) \end{eqnarray*}$ ist nicht konvergent.

Beweis: Ich betrachte die Teilfolgen
$\begin{eqnarray*} b_k := a_{2k} = sin(2k \cdot \frac \pi 2) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} c_k := a_{4k+1} = sin((4k+1) \cdot \frac \pi 2) \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} b_k = sin(2k \cdot \frac \pi 2) = sin(k \cdot \pi) = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} c_k = sin((4k+1) \cdot \frac \pi 2) = sin(2k \cdot \pi + \frac \pi 2) = sin(\frac \pi 2) = 1 \end{eqnarray*}$

Damit hat die Folge a_n zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwert und ist somit nicht konvergent.

Ganz simpel und platzsparend auf einer halben DIN-A4-Seite. Wenn du keine "Schreibweise" findest, hast du das ganze entweder noch nicht wirklich verstanden oder dich noch nie im Schreiben mathematischer Gedanken (ja sowas gibt es) geübt.

16.01.2008, 11:19

gabbo

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DANKE!!!!!!!!

Freude

12.09.2011, 18:53

totti

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Hallo zusammen,

ich hoffe es ist rechtens wenn ich dieses Thema nochmals aufgreife, aber einer Frage habe ich dazu.

Ich habe denke ich soweit alles verstanden auch ohne diese Hilfe, ich habe auch die erste Teilfolge berechnen & bestimmen können.

$\begin{eqnarray*} a_{2k}=sin(2k\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2k}=sin(k\pi ) \end{eqnarray*}$

Das ist mir soweit alles klar, allerdings verstehe ich die nächste Teilfolge nicht ganz.

Wenn ich doch sehe $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

Und erst $\begin{eqnarray*} a_5=1 \end{eqnarray*}$ ist wieder 1, so nehme ich doch an, dass es jetzt heißen muss:
$\begin{eqnarray*} a_{4k}=sin(4k\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

Allerdings würde es dann nicht aufgehen.
Denn ich bin der Meinung, jede 4. Zahl ist doch 1?!?!

oder bin ich da auf dem falschem Dampfer?

Davon mal abgesehen, kann man die Aufgabe auch schon lösen indem man schreibt, Eine folge mit mehreren (unterschiedlichen) Häufungspunkten kann nicht konvergieren. Denn in der Aufgabe steht nichts von Beweisen sonder Untersuchen Sie.
Wäre das Prinzipiell richtig.
Denn die Häufungspunkte sind ja 0,1,-1

Auch wenn das stimmen sollte, würde ich es gerne Beweisen, nur fehlt mir ein wenig der Durchblick für die 2. Teilfolge!

Wäre nett wenn es mir noch mal einer Erläutern könnte.
Wo ich meinen Denkfehler habe...

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