Gruppen

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Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen
Also hier die Aufgabe:

Zeigen sie, dass bezüglich der Multiplikation modul o eine Gruppe ist.

Dabei ist

So, die Assoziativität ergibt sich wohl aus der Assoziativität von

Neutrales Element ist die 1.

Wie zeigt man, dass es Inverse gibt?

Also was mir klar ist, ist dass egal wieviele Elemente man miteinander multipliziert das Ergebnis immer verschieden von Null ist. Aber das reicht ja nicht ganz aus.

Dann gibts noch ne zweite Aufgabe bei der ich auch Probleme hab:

Bestimmen Sie alle, die die Gruppe bzw. erzeugen.

So für hab ich das richtige Ergebnis, nämlich 3 und 5 raus. Bei hängts irgendwie. In der Lösung steht, dass die Gruppe die Ordnung 7 hat. Aber ich bekomme nur 5 Elemente der Gruppe, nämlich 1,3,5 und 7 heraus. Und bei mir ist jedes Element invers zu sich selbst. Also wird bei mir die Gruppe nicht nur von einem Element erzeugt.

Kann mal jemand was dazu sagen?
sdf Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen
bildet zusammen mit der Restklassenmultiplikation eine Gruppe.
, das bedeutet das das Untergruppenkriterium anwendbar ist.
Es muss also nur Abgeschlossenheit und Existenz der Inverse gezeigt werden.

Abgeschlossenheit :
aus und folgt natürlich ,
also ist auch die Restklasse

Inverse :
Sei und mit (b ist also das Inverse zu a)
Zu zeigen ist das auch .
heißt nichts anderes als das ein existiert so dass :

Für folgt
Für folgt
man sieht leicht das kein Teiler von ist, was aber heisst das auch kein Teiler von und insbesondere nicht von ist.
Oder anders ausgedrückt .
Damit liegt wohl in .

Gar nich so schwer oder? smile
 
 
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