Klausuraufgabe [Lineare Abhängigkeit v. Vektoren]

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rainbow Auf diesen Beitrag antworten »
Klausuraufgabe [Lineare Abhängigkeit v. Vektoren]
Eine Teilaufgabe aus einer Klausur, die ich damals in der Klausur und auch heute als ich die Klausur noch mal durchgegangen bin, nicht kapiert habe:

Die Vektoren a,b seien linear unabhängig. [wie stelle ich hier eigentlich vektoren dar?]
Zeigen Sie, dass dann auch die Vektoren c und d linear unabhängig sind, wenn gilt:
c = a + 3b und d = 2a + 5b

[also, die pfeile oben drüber bitte dazu denken, ich weiß nicht wie das funktioniert]

Kann mir jmd bei der Aufgabe helfen?

lg
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
[latex]\vec{x}[/latex]




hallo!
weißt du, wie man genau lineare unabhängigkeit definiert?
stichwort: linearkombination des nullvektors
 
 
rainbow Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den latex code Mit Zunge


naja ist es nicht so dass dann alle skalare null sein müssen damit die Vektoren linear unabhängig sind?


also so in der art


dann ist r = s = 0
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

korrekt!

jetzt mach mal einen ansatz für die linearkombination aus c und d vom nullvektor.
zeige mithilfe der lin. unabh. von a und b, dass dann auch die skalare vor c und d 0 sein müssen.

schöne aufgabe, also ran an den speck!
rainbow Auf diesen Beitrag antworten »

okay also ich habe mir da was überlegt.. Tanzen

also zunächst hab ich da stehen

Durch einsetzen ergibt sich:



Dann hab ich die beiden Vektoren jeweils ausgeklammert =>



t + 2u ist jetzt also r, 3t + 5u entspricht s
Diese beiden Variablen wiederum sind, da und linear unabhängig sind, null.


Also hab ich ein Gleichungssystem mit den Gleichungen
0 = t + 2 u => t = -2u
0 = 3t + 5u


0 = 3t + 5u = 3 * (-2u) + 5u = -u

=> u = 0

0= t + 2u = t + 0 => t = 0


q.e.d.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

na super, geht doch!

Freude

der wichtige schritt war die idee, das nach a und b zu sortieren und dann die koeffizienten =0 zu setzen!
rainbow Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank!
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