Jordansche Normalform |
| 30.05.2005, 16:44 | Lamalambra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Jordansche Normalform A= 1. Also, die ersten Schritte weiß ich schon, man muss das charakteristische Polynom ausrechnen und daraus dann schließlich die Eigenwerte. 2. Nun muss man die verallgemeinerten Eigenräume berechnen. Und ab hier hackt es nun, vielleicht könnte mir da jemand helfen und mir einen Tipp geben, wäre echt nett 
Gruß dat Lama |
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| 30.05.2005, 17:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok - ein Tipp: Nicht viel rechnen, sondern scharf hinsehen! Eine einfache Permutationsmatrix P überführt dein A via in eine Jordansche Normalform. |
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| 30.05.2005, 17:16 | Gast24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Tip zum Rechnen Hallöchen... Da ich diese Aufgabe auch rechnen muss: Hast du vielleicht auch nen Tip fürs Rechnen, denn für scharfes Hinsehen bekommen leider wir keine Punkte. Danke |
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| 30.05.2005, 17:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jaja, ich weiß, dass es auch einen systematischen Rechenweg zur JNF gibt, den ich mit all seinen Details allerdings nicht unmittelbar in Erinnerung habe. Wenn ich aber eine "Fast"-Diagonalmatrix mit nur zwei verlorenen Einsen sehe, dann schreit das geradezu nach einer Permutation der Basiselemente. Und siehe da, Vertauschung des ersten mit dem vierten Basiselement (entspricht Vertauschung von erster und vierter Spalte und Vertauschung von erster und vierter Zeile) liefert mit der zugehörigen Permutationsmatrix . Warum soll man da noch das sture Verfahren durchrechnen, wenn man das Ergebnis auf diese einfachere Weise erhält? Falls Prof/Assi damit ein Problem haben, dann müssen sie halt Matrizen A vorgeben, wo das nicht derart einfach klappt.
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| 30.05.2005, 17:48 | Lamalambra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hat gut reden *ggg |
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| 30.05.2005, 19:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo lama der normale rechenweg ist wirklich mehr als langwierig im normalfall also fang doch mal schritt für schritt an hier zu rechnen wir helfen dann, wenns hängt |
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| 30.05.2005, 20:10 | Kiro567 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Berechnung nach Krause: 1) du musst zuerst das charakteristische Polynom bestimmen 2) dann bestimmst du die Eigenwerte (in diesem Fall mit Vielfachheit 4, dass heißt Eigenwert is 2 und kommt vier mal vor. 3) Du berechnest zum Eigenwert den Eigenraum (es ergibt sich dim des Eigenraums 2) somit gibt es 2er Joranblöcke 4)Probierst kombinationen, somit geht nur die Aufstellung, wie Arthur Dent aufzeigt, schwups fertig! |
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| 30.05.2005, 20:27 | Robooo1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bist an Lösung zur Aufgabe 4 interessiert? |
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| 30.05.2005, 20:39 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie, schon fertig mit Aufgabe 4??? Bin über Hilfe immer Dankbar... O.k. soweit kann ich dir folgen. Nur bei deinem 3 Punkt weiß ich nicht wie du aus der dim 2 auf 2 Jordanblöcke kommst, oder hab ich da mal wieder nicht aufgepasst ??? Wenn ich das verstanden hab, weiß ich vielleicht auch, was du mit Kombinationen ausprobieren meinst. Wäre für eine weitere Erklärung echt dankbar!!! edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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| 31.05.2005, 16:36 | Lamalambra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, ihr habt mir schon sehr weiter geholfen, aber habe da nun das selbe Problem wie auch Krümel, ich habe ebenfalls einen Eigenraum der Dimension 2 raus, den könnte man zu einer Basis in erweitern und dann anhand von PAP^-1 die Jordansche Normalform berechnen, wie A.D. es vorgeschlagen hat, aber ist das denn die richtige Rechnung? So würde ich das aus deinen Punkt 3 nun erkennen, wobei ich nicht genau weiß, ob du das nun auch so meintest, nur ich sehe keine Möglichkeit, dass aus der Dimension zu erkennen... |
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| 31.05.2005, 16:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo zu 3) dimesnion vom eigenraum gibt die anzahl der jordankästchen zu dem entsprechenden eigenwert alternative zu 4) dimesnion vom hauptraum gibt die länge des längsten jordankästchens zu dem eigenwert (keine garantie, war aber so ähnlich) |
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| 01.06.2005, 01:42 | Roboo220 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also Ihr habt die Eigenwerte bestimmt. Nachdem Ihr das habt, macht Ihr euch Gedanken über die Form der Jordanblöcke. Wenn Ihr den verallg. Eigenraum bestimmt seht Ihr: dim ker(2E-A)=2 dim ker(2E-A)^2 =4 Nachdem Ihr das habt seht Ihr, dass (2E-A)^2 der Gesamte Raum ist, danach ändert sich nichts, wenn ihr (2E-A)^3 bestimmt (nennt man auch sationär) Somit habt Ihr neben der grösse der jordanblöcke auch das minimal Polynom gefunden. Es ist nämlich: m=(x-2)^2 ausmultipliziert x^2-4x+4 setzt ihr da A ein, seid Ihr gewiss A^2-4A+4E=0 (Hamilton C.) Es gab ja die Möglichkeiten folgender JordanBlöcke: J1(2)= (2) J2(2)(2 ) ( 1) (2 ) Wir wissen ker(2E-A)^m wird nach m=2 stationär (oder minimalpolynom m=(x-2)^2) somit haben die Jordanblöcke die Länge 2 da dim ker(2E-A)=2 (Dimension ist 2), daraus folgt es gibt zum Eigenwert 2 Jordanblöcke. Jordan Normalform besteht aus zwei jordanblöcken der Länger 2, das sind J2(2) (siehe oben) fertig!!! |
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| 01.06.2005, 13:06 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Halli Hallo!!! Also ich hab das leider immer noch nicht verstanden: Die EW hab ich berechnet und habe auch wie alle anderen 2 mit der Vielfachheit 4 raus. Dann hab ich die verallgemeinerten Eigenräume bestimmt. Bei m = 2 ist ja quasi Schluß, da das dann bereits der gesamte Raum ist. Das man dadurch auch das Minimalpolynom gefunden hat verstehe ich auch. Was ich aber noch nicht wusste ist eben, dass man von der errechneten Dimension auf die Anzahl der Jordanblöcke schließt. Aber das ist nicht das eigentliche Problem. Versteh ich das jetzt richtig, dass die Dimension nicht nur die Anzahl sondern auch die Länge der Jordanblöcke angiebt? Verstehe nun leider auch deine Schreibweise nicht, die du für die Möglichkeiten der Jordanblöcke angegeben hast. Wäre nett wenn nochmal einer da einhacken könnte wo ich nicht mehr folgen kann... |
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| 01.06.2005, 18:22 | Lamalambra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Von wegen der Länge und Anzahl der Jordan-Blöcke, das habe ich wohl nun verstanden, aber ich weiß ja immer noch nicht, wie die Dinger aussehen, also sich berechnen lassen... |
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| 01.06.2005, 18:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die jordanblöcke sehen so aus..... auf der diagonalen der eigenwert auf der nebendiagonalen (drüber oder drunter stehen 1er) |
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| 01.06.2005, 21:38 | Gast24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallöchen... Also ich habe nun die folgenden beiden Möglichkeiten für die Jordanblöcke: RICHTIG??? Hoffe ihr erkennt die Jordanblöcke so. Mein großes Problem ist nun: woher weiß ich denn nun welche richtig ist? Muss man irgendwas mit diag. prüfen??? Hab echt keine Ahnung... |
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| 02.06.2005, 10:05 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so kannst das z.b. nachprüfen alternativ auch mitm minimalpolynom, wie roboo es darstellt, leider ist seine darstellung so mehr als unverständlich |
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| 02.06.2005, 16:46 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
O.k., dass die Potenz des Minimalpolynoms die Länge der Jordanblöcke angiebt habe ich heute endlich gelernt. Nur wenn wir diese Folgerung anwenden sollen wir beweisen, dass das auch tatsächlich so ist... Nur das ist mir nun wirklich zu viel! Hat jemand vielleicht eine Idee wie man an diese Sache rangehen soll??? |
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| 02.06.2005, 18:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die länge des LÄNGSTEN kästchens....... die jordankästchen zu einem eigenwert sind i.A. nicht ale gleich lang |
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| 03.06.2005, 06:56 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
O.k. hab mich nicht genau genug ausgedrückt, aber das war mir schon klar. Leider hilft mir das nicht bei meinem Problem weiter... 
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