Eigenwerte, Eigenräume, komplexe Jordansche Normalform

30.05.2005, 18:39

Gast 5

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Eigenwerte, Eigenräume, komplexe Jordansche Normalform

Hilfe

Ich soll von der Matrix

A= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 & -4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Mc (6,6)

Alle Eigenwerte, alle verallgemeinerten Eigenräume und die (komplexe) Jordansche Normalform ermitteln.
Kann mir da vielleicht jemand helfen? Vor allem mit der (komlexen) Jordanschen Normalform von A? verwirrt

verwirrt

30.05.2005, 19:04

JochenX

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fang doch mal an!
was weißt du, was musst du rechnen?

musterlösungen gibts keine.

übrigens haben matrizen runde klammern, da steht eine determinante

31.05.2005, 17:38

Lamalambra

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Hey, also ich habe jetzt als aller erstes das charakteristische Polynom versucht auszurechnen, bin mittlerweile total verzweifelt, weil ich das hier raus bekomme:

$\begin{eqnarray*} \alpha^6 -4 \alpha^4 +8 \alpha^3... \end{eqnarray*}$

also es geht dann normal weite, aber das kann meiner Meinung nach nicht stimmen, weil ^5 fehlt und es damit kein charakt. Polynom ist. Habe es jetzt schon vier mal gerechnet und jedesmal dieses Poly rausbekommen, vielleicht kann mir mal jemand sagen, wie das richtige ist...

31.05.2005, 19:49

Krümel

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Hallöchen...
Also mir wurde der Tip gegeben, dass man die Matrix in eine 4x4 und in eine 2x2 Matrix zerlegen soll um es sich einfacher zu machen.
Habs noch nicht gerechnet, aber melde mich dann wieder.
Vielleicht kann sich so lang ja mal jemand dazu äußern, ob das ein richtiger Ansatz ist...

01.06.2005, 01:47

Rooboo394

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Ihr braucht kein Ansatz, ihr braucht das richtige Werkzeug:
Tip siehe Lineare Algebra von Hans Joachim Kowalsky und Gerhard Michler. Auf Seite 349 Aufgabe 12.5 und die Lösung steht auf Seite 389.

Bis zur nächsten Vorlesung Lin. Algebra!!!

01.06.2005, 08:27

Krümel

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Schade, dass Buch besitzt keiner von uns!!!
Vielleicht nen anderen Tip zu der Aufgabe,
denn leider bin ich immer noch nicht weiter gekommen.

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01.06.2005, 09:05

AD

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Das charakteristische Polynom ist $\begin{eqnarray*} \alpha^6-4\alpha^4+8\alpha^3+4\alpha^2-16\alpha+16 \end{eqnarray*}$ . Und was soll dagegen sprechen, etwa das fehlende $\begin{eqnarray*} \alpha^5 \end{eqnarray*}$ ??? Wenn dich das stört, dann schreib doch

$\begin{eqnarray*} \alpha^6+0\alpha^5-4\alpha^4+8\alpha^3+4\alpha^2-16\alpha+16 \end{eqnarray*}$

01.06.2005, 17:31

Lamalambra

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Das ja schonmal schön, das ich das Poly richtig raus habe, bißchen verwirrt bin ich trotzdem, denn meiner Meinung nach besteht das Polynom aus allen Exponenten absteigend, na ja egal, heut ist echt nicht mein Tag, denn irgendwie bekomme ich die Eigenwerte nicht raus... Keine Ahnung warum, vielleicht kann mir jemand helfen...

01.06.2005, 17:49

AD

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Polynom sechsten Grades ist wirklich schon ziemlich gemein. Ich weiß jetzt nicht, wieviel ich schon verraten sollte (ich hab's ja auch bloß von MuPAD ausrechnen lassen) - erstmal das:

Sämtliche Nullstellen stammen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ , also sind komplexe Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil.

01.06.2005, 18:24

Lamalambra

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Ok, danke, das reicht mir persönlich dann schon, kannst mir das Programm mal geben *gg Ne mal ernsthaft, wie soll man denn nun auf die Werte kommen?

01.06.2005, 18:30

AD

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Was soll's - ich geb mal die Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} \alpha^6-4\alpha^4+8\alpha^3+4\alpha^2-16\alpha+16=(\alpha+2)^2(\alpha^2-2\alpha+2)^2 \end{eqnarray*}$

an. Die sollte dir genügen, um alle Nullstellen und deren Vielfachheiten zu bestimmen.

01.06.2005, 19:22

Lamalambra

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Hey danke schön, habe mir aber gerade das Programm gezogen, jetzt hat der Computer sie für mich berechnet *ggg

02.06.2005, 16:54

Krümel

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Wenn ich die Faktorisierung habe, dann komm ich auch auf die entsprechenden EW.
Nur wie komm ich denn darauf, wenn ich grad kein Matheprogramm hab. Denn so spontan würd ich da nicht drauf kommen.

Habe aber trotzdem schon mal weiter gerechnet und nun das Problem, dass bei der Berechnung der verallgemeinerten Eigenräume selbst bei m=6 nicht die Nullmatrix rauskommt.
Wir haben aber nach Hamilton-Cayley gelernt, dass das so sein muss.
Da ich bis jetzt noch keinen Rechenfehler gefunden habe,
frag ich mich ob es da vielleicht Sonderfälle gibt.
verwirrt

verwirrt

O.k. auch ich halte das für unwahrscheinlich, aber sonst weiß ich auch nicht...

03.06.2005, 13:09

Lamalambra

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Hey hallo, ich habe ein dickes Problem und zwar erstmal das schon von Krümel genannte und zweitens bekomme ich, wenn ich den Eigenwert i+1 in (A-Eigenwert*En)^1=0 En-Einheitsmatrix hinterher für x1 bis x6=0 raus, kann das stimmen?Wenn ja, was sagt mir das nun für die komplexen Jordanschen Blöcke? Vielleicht kann mir da jemand helfen, wäre nett...

Gruß dat Lama

03.06.2005, 14:51

sinister serpent

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Hab das auch so, mit den verallgemeinerten Eigenräumen berechnet...
frag mich auch wie das ist.

Ich würd mir denken, dass für den EW lambda=-2 der verallg. Eigenraum=6 ist und somit die Länge 6 hat.

Das würde auch zu der Berechnung des Raumes für EW=1+-i passen.

kann das sein? Also, dass im jordanform nur der EW -2 auftaucht?

03.06.2005, 17:10

Krümel

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Hallöchen...
Ich hab leider auch immer noch das gleiche Problem.

Bei mir ist die Dimension des Eigenraumes vom EW = -2
= 1.
Daraus kann man ja schließen, dass für Lambda1 ein ganzer Jordanblock rauskommt.
Weiß nun nicht wie du das mit der ganzen Matrix meinst,
denn ich komm bei den verallgemeinerten Eigenräumen nicht mal bei m=6 auf die Nullmatrix, du?

Für den EW = i+1 hab ich für den Eigenraum die Dimension 6 raus,
mir wurde aber gesagt, dass eigentlich nur dim 1 oder dim 2 rauskommen kann, da man ja entscheiden muss, ob es einen oder zwei Blöcke gibt.

Hat vielleicht noch jemand ne Idee,
denn irgendwie entwickelt sich diese Aufgabe zum reinsten Chaos...

03.06.2005, 19:37

Lamalambra

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Also für EW=-i+1 habe ich einen Eigenraum mit der Dimension 1 raus, für x2 steht eine 1 und der Rest 0.. Kommt das hin oder ist das falsch?

05.06.2005, 18:16

Gast 31211

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für Lamda = -2 kommte die Basis (0,0,0,0,-1,2) heraus beim qadrieren Basen (0,0,0,0,1,0) und (0,0,0,0,0,1)

05.06.2005, 18:49

AD

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@Lamalambra

Da du jetzt MuPAD hast: Versuch mal

code:
1:	linalg::jordanForm(A,All)

,
dann weißt du als Kontrolle zumindest schon mal, was ungefähr bei deinen schriftlichen Rechnungen rauskommen muss. Natürlich ist die dort berechneteTransformationsmatrix nicht eindeutig, aber es hilft vielleicht trotzdem.

08.05.2009, 20:20

gast9

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Bin gerade an der selben Aufgabe zugange. Ich habe das Charakteristische Polynom bestimmt, Eigenwerte ermittelt und die jeweiligen Haupträume ausgerechnet. Nur wie kommt man nun auf die Jordanbasis?

09.05.2009, 08:31

gast 9

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hat sich erledigt, bin jetzt auch drauf gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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