Lineare Unabhängigkeit

Neue Frage »

Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit
Hallo liebe Matheboard User, habe wieder mal eine knifflige Aufgabe, mit der ich recht wenig anfangen kann. Vielleicht könnt ihr mir ja beim Anfang helfen.

Sei V ein K-Vektorraum, (zeichen für Teilmenge)Unterräume mit (zeichen für Scnhittmenge)
Außerdem seien linear Unabhängig und linear Unabhängig. Zeigen Sie, dass auch linear unabhängig sind.

P.S. würde mich freuen, wenn mir einer sagen könnte wie ich hier die Zeichen für Durchschnittsmenge, Vereinigungsmenge und Teilmenge einfügen kann....
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal die Aufgabenstellung mit allen mathematisch korrekten Zeichen:

Sei V ein K-Vektorraum, Unterräume mit .
Außerdem seien linear Unabhängig und linear Unabhängig. Zeigen Sie, dass auch linear unabhängig sind.

PS: Klicke auf Zitat, dann siehst du, wie ich die Zeichen gemacht habe Augenzwinkern

Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

halli hallo zur aufgabe:

was musst du denn für lineare unabhängigkeit zeigen?
gegeben fest sei, das die x_i bzw y_i in ihrem unterraum je linear unabhängige mengen seien

nehme nun an,{x1,....xn,y1,...,ym} seien in V linear abhängig und führe das zu einem widerspruch zu U1 geschnitten U2 ={0}
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

also ich glaube irgenwie muss ich da was mit der dimension zeigen...also dim U1>=n und dim U2>=m

U1 geschnitten U2={0}

=> dim V>=n+m


sowas müüsste ich glaube ich machen??kann das stimmen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Also nimm doch mal an, es gäbe Sakalare und aus K, wobei mindestens einer dieser m+n Skalare sein soll, sodass



gilt. Das ist gerade das, was LOED ansprach. Dann musst du noch die Darstellung benutzen (alle drei 0en sollen den Nullvektor darstellen), um auf einen Widerspruch zu kommen.

Gruß MSS
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ja ber was hat das mit der linearen unabhängigkeit zu tun??

sorrysmile bin mit ner gleichen aufgabe bescäftigt
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Snooper
ja ber was hat das mit der linearen unabhängigkeit zu tun??


wenn einer dieser skalare als <>0 gewählt werden kann, dann wären die m+n vektoren linear abhängig......
das ist die definition....

oder verstehe ich deine frage falsch?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr viel.
Was ich da hingeschrieben hab, bedeutet doch grad "linear abhängig". Das nehmen wir an. Wenn daraus ein Widerspruch folgt, war die Annahme falsch und es gilt doch linear unabhängig.

Gruß MSS
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Hallo!
Also nimm doch mal an, es gäbe Sakalare und aus K, wobei mindestens einer dieser m+n Skalare sein soll, sodass



gilt. Das ist gerade das, was LOED ansprach. Dann musst du noch die Darstellung benutzen (alle drei 0en sollen den Nullvektor darstellen), um auf einen Widerspruch zu kommen.

Gruß MSS



hallo...wenn ich dieses beispiel mir ansehe..

ich behaupte doch erst die lineare abhängigkeit und fürhe dies zu einem widerspruch oder???und was ist jetzt mit den drei nullen gemeint das verstehe ich nicht ganz???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »



du sollst zeigen, dass das nur für alle k_i und alle j_i=0 gilt.
klar soweit?

zerleg das mal disjunkt wie folgt:

2 fälle:
1. fall: die erste und die zweite klammer sind beide selbst der nullvektor
2. fall: das ist nicht so, dann wäre die zweite klammer der gegenvektor zur ersten klammer

jetzt weiterdenken
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

aha okay..also praktisch genauso wenn man für a=b=c=0 zeigen würde für andere aufagaben..aber okay


also erstens ist klar gemeint ist 0+0=0

frage ist wie zeige ich das???irgendein tip?

zweitens....verstehe ich nicht??was meinst du mit gegnvektor??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, dein beitrag wird nicht verständlicher, wenn du rufzeichen und fragezeihen mehrfach verwendest
sprich: deinen letzten beitrag verstehe ich nicht

gegenvektor meine ich inverser vektor damit, also zu einem vektor x ist derjenige vektor y der gegenvektor für den x+y=0 gilt
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

also dann wird ja x+y=0 => x=-y meinst du das
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst den gegenvektor zu x als -x schreiben, das wird oft so gemacht, ja....
das liegt daran, weil dein vektorraum bzgl. der vektoraddition eine abelsche gruppe ist.....
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich fang erst mal mit 1 an??richtig oder???

woher weiss ich das erste und zweite vektor beide der nullvektor ist??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eine möglichkeit...
(.....)+(.....)=0

wenn die erste klamemr der nullvektor ist, isses duie zweite auch
ist die erste klammer ein beliebiger vektor x, so muss die zweite klamemr der gegenvektor sein
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ah so okay..und das muss ich aufschreiben somit habe ich dies geizegt dann ne???..ich schreibe mir das mal auf...


habe jetz mal was versucht schau mal nach ob es richtig ist...

Behauptung:x1,....xn,y1,...ym in V linear abhängig.

Beweis:Ich nehme an es gibt Skalare k1,...kn und j1,...,jm aus K,wobei mindestens einer dieser m+n Sklare ungleich 0, so dass k1x1+...+knxn+j1y1+...+jmym=0

1)es soll gelten :für alle ki und ji gleich 0


(k1x1+...+knxn)+(j1y1+...+jmym)=0

also nehme ich an erste und zweite vektor der nullvektor=>0+0=0

=> linear abhängig(richtig?)

2)es gibt ein inverses -x so dass
(k1x1+...+knxn)+(-(k1x1+...+knxn)=0

richtig??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

DU MUSST INSBESONDERE DARAUS FOLGERUNGEN ZIEHEN

edit: huch ist das schlecht lesbar, also nochmal
aufschreiben und daraus die richtigen schlüsse ziehen
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

sieh dir das mal bitte an oben
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich sag mal so: hÄ?
ich verstehe deinen beweis nicht, scheint aber auch nicht richtig zu sein....

mein vorschlag oben ist übrigens fast noch einfacher als der widerspruchsbeweis:
zeige einfach direkt, dass alle k_i, j_i=0 sind
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja okay.wenn ich k_i,j_i=0 zeige dann ist es ja linear unabhängig...

bis jetzt habe ich das so gelernt um die sklalare gleich null zu zeigen habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt..nur hier geht das nicht oder
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, deswegen machst du ja die 2 fälle......
(...)+(...)=0 <-- so klammern

entweder sind beide klammern selbst schon der nullvektor, dann kannst du über die lineare unabhängigkeit der einzelnen vektormengen argumentieren....

oder aber der erste vektor ist ungleich 0, der andere genau der gegenvektor, dann aber.....
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ich wiss nicht ob es richtig ist aber wenn ich zB sage dass wenn eine teilmenge linear unabhängig ist dann ist der rest auch linear unabhängig
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ganz sicher gilt das nicht immer!

genau andersrum gilt das aber: wenn eine vektormenge linear unabhängig ist, so ist es auch jede teilmenge davon
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

über die lineare unabhängigkeit der einzelnen vektormengen argumentieren....

was meinst du denn genau damit??


so langsam werde ich nervös..schreibe stundenlang und verstehe nicht viel...sonst schaffe ich auch aufgaben bis zum ende...nur warum muss diese aufgabe so schwer seinunglücklich ((((((((((((((

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen, da schaust dir das heute nach ausreichend schlaf noch mal genauer an.....

die klammern sind beide =0 im ersten fall.....
was könnte dann wohl "über die lineare unabhängigkeit der einzelnen vektormengen argumentieren" bedeuten?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

damit es linear unabhängig ist müssen doch alle koeffizienten verschwinden...also die koefffizienten müssen gleich null sein..
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das ist richtig

und im fall, das beide klammern selbst schon 0 sind, ist das auch sehr einfach zu zeigen, dass die koeffizienten in den klammern jeweils alle 0 sind.
tipp: betrachte dazu die klammern einzeln
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

(k1x1+...+knxn)+(j1y1+...+jmym)=0


also du meinst ich soll mir di einzelnen klammern ansehen da oben.
aber ohne gleichingssystem kann ich das doch nicht sehen halt nicht zeigen, dass die koeffizienten gleich null sind??

also 0+0=0 wird nur dann zustande kommen wenn die koeffizienten gleich null sind..das verstehe ich
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Siiiima, oder soll ich lieber Snooper sagen,

warum meldest du dich zweimal an - und tust dann noch so, als ob sich dahinter zwei verschiedene Personen verbergen würden?

Willst du uns eigenlich verar***en? böse

[Bitte entschuldigt meine Ausdrucksweise!]
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ne sorry aber snooper bin nicht nicht das ist meine freundin...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also 0+0=0 wird nur dann zustande kommen wenn die koeffizienten gleich null sind

und warum?

das gleichheitszeichen hast du doch, da wir annehmen im fall 1, die klammern seien beide 0.
also hast du jeweils (.....)=0

mfg jochen



hallo katharina: habe ich was verpasst? Wink
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Siiiima
ne sorry aber snooper bin nicht nicht das ist meine freundin...


Ach so, und ihr sitzt nur ganz zufällig vor dem gleichen Computer geschockt - dass ich nicht lache.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

(k1x1+...+knxn)=0

nach der um umformulierung ergibt ja dass die koeffizienten gleich null sind meinst du das so..
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Siiiima
(k1x1+...+knxn)=0

nach der um umformulierung ergibt ja dass die koeffizienten gleich null sind meinst du das so..

WARUM?
du musst lernen, deine aussagen zu begründen!


hallo katharina: IP?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

kann man das so sagen:

wen ich davon (k1x1+...+knxn)=0 eine teilmenge nehme,

knxn=0 setze

=>kn=0
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
wie oben schon gesagt: wenn eine teilmenge einer vektormenge linear unabhängig ist, so folgt das nicht für die ganze menge selbst.

aber schau dir die klammer mal genau an....
da stehen als vektoren nur x_i drin....
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

also bezogen jetzt auf die x_i :

(x1,...,xn) ist genau dann linear unabhängig,wenn keiner dieser Linearkombination der übrigen ist.

meinst du das
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast du über die x_i in der aufgabenstellung denn nicht etwas gegeben?

und jetzt sei auch bitte mal ehrlich: bist du snooper?
ich denke, das ist an der IP eindeutig feststellbar, also stehe zumindest dazu, warum immer du das gemacht hast......
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, die vektoren sind linear unabhängig gegeben.wenn ich weiss, dass eine teilmenge unabhängig ist sprich x1,...xn dann ist die andere auch linear unabhängig,glaube ich zumindestens.

da die vektoren linear unabhängig sind müssen die koeffizienten ja gleichnull sein..wenn einer der koeffizienten ungleich null wäre dann wäre ja linear abhängig..aber dass ist nicht der fall...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »