Schnitt von 2 Ebenen

01.06.2005, 18:48

Soulmate

Schnitt von 2 Ebenen

Ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar:

Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2. Bestimme eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden, falls E1 und E2 sich schneiden.

$\begin{eqnarray*} E1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E2:\vec{x} = \begin{pmatrix} -8 \\ 13 \\ 9 \end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich setze die Ebenengleichungen gleich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 13 \\ 9 \end{pmatrix} + a\cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + b\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 + 1r - 2s = -8 - 8a + 2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + 0r + 3s = 13 + 1a + 1b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + 5r + 7s = 9 + 5a - 4b \end{eqnarray*}$

Ich hab keine Ahnung wie ich weitermachen soll. Das System kann ich ja nicht lösen, da es unterbestimmt ist.

01.06.2005, 19:25

Fassregel

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RE: Schnitt von 2 Ebenen
Zuerst mein Standardtipp bei Ebenen: Ebenen immer in Koordinatenform umrechnen, geht mit dem Kreuzprodukt recht zackig und lohnt sich in 90% aller Fälle.
So auch hier. Augenzwinkern

Wenn du beide Gleichungen in Koordinatenform hast, machst du ein Gleichungssystem (2 Gleichungen, 3 Unbekannte) und löst es so, wie du ein unterbestimmtes System löst, also mit Hilfsvariabler.
Dann noch "schön" hinschreiben, und du hast deine Schnittgerade in Parameterdarstellung.
Tanzen

01.06.2005, 19:34

riwe

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RE: Schnitt von 2 Ebenen
das system kannst du schon "hinreichend" lösen, drücke entweder a durch b oder r durch s aus und setzte in die entsprechende ebene ein.

einfacher(?) geht es, wenn du 1 ebene in koordinatenform bringst, z.b
E1: 15x + 17y - 3z - 74 = 0
und nun E2 einsetzt,
das liefert b = 2a und damit deine schnittgerade
$\begin{eqnarray*} g:\;\vec{x} =\begin{pmatrix}-8 \\ 13 \\ 9\end{pmatrix} +a\begin{pmatrix} 4\\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

01.06.2005, 19:44

Soulmate

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ich versteh das nicht.
ich hab keine ahnung wie man das in eine koordinatenform umrechnet.
und das kreuzprodukt sagt mir jetzt auch nichts verwirrt

01.06.2005, 19:50

Fassregel

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In diesem Thread sind mehrere (zwei) Möglichkeiten beschrieben, um eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform umzurechnen, nur so als Randbemerkung. Rock

01.06.2005, 20:19

Soulmate

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woher weiß man denn ob die ebenen E1 und E2 sich schneiden?

für r uns s hab ich mit dem kreuzprodukt raus:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} -15 \\ -17 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für a und b:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} -9 \\ 42 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ist richtig.

und nun in die koordinatengleichung einsetzen:

-15x1 -17x2 + 3x3 = b
-9x1 + 42x2 + 6x3 = b

ist das richtig so?
was setze ich für b ein?

Zitat:

Original von wernerrin
das system kannst du schon "hinreichend" lösen, drücke entweder a durch b oder r durch s aus und setzte in die entsprechende ebene ein.

einfacher(?) geht es, wenn du 1 ebene in koordinatenform bringst, z.b
E1: 15x + 17y - 3z - 74 = 0
und nun E2 einsetzt,
das liefert b = 2a und damit deine schnittgerade
$\begin{eqnarray*} g:\;\vec{x} =\begin{pmatrix}-8 \\ 13 \\ 9\end{pmatrix} +a\begin{pmatrix} 4\\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

was meinst du denn mit E2 einsetzen und wie kommst du auf b=2a?

traurig

01.06.2005, 20:54

riwe

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das kreuzprodukt (für r und s) stimmt, das zweite brauchst du nicht, jetzt mußt du noch das b bestimmen, indem du den punkt P(4/1/1) einsetzt
15x + 17y - 3z + b = 0 => 15x + 17y - 3z - 74 = 0
und nun E2 einsetzen
15(-8 - 8a + 2b) + 17(13 + a + b) -3(9 + 5a - 4b) - 74 = 0
gibt die beziehung zwischen a und b
und nun b (oder a) in E2 ersetzen, jatzt hast du nur mehr EINEN parameter = schnittgerade
werner

01.06.2005, 22:24

Soulmate

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diese kreuzprodukt-methode scheint für mich nicht zu funktionieren.
ich finde es einfacher das system "hinreichend" zu lösen indem ich entweder a durch b oder r durch s ausichdrücke und in die entsprechende ebene einsetzte.

ich hab auch b=2a rausbekommen.
hab aber mein einsetzen in die ebene ein anderes ergebnis rausbekommen (vorzeichen).

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -8 \\ 13 \\ 9 \end{pmatrix} + a\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss man davor eigentlich g : x schreiben, oder geht da nicht auch E2:x ? verwirrt

Jetzt weiß ich zwar wie ich die Schnittgerade bekomme, aber ich hab keine ahnung wie man die widerspruchsfreiheit der übrigen gleichungen überprüft.

ich hab nämlich eben noch so eine aufgabe zur übung gemacht und ganz am ende hab ich plötzlich gemerkt, dass es da einen widerspruch gibt. hatte nämlich in einer gleichung nur noch 2 = 0 stehen.
wenn es einen widerspruch gibt, schneiden sich die ebenen also nicht?

wäre auf jeden fall gut zu wissen wie man die gleichungen vorher auf einen widerspruch überprüft.

01.06.2005, 22:33

riwe

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ja, wenn du einen widerspruch erhältst, hast du den richtigen schluß gezogen.
du hast dasselbe ergebnis, da man die konstante a mit (-1) und jeder anderen zahl <> 0 multiplizieren darf/kann - die vektoren sind antiparallel
(leopold möge mir diesen ausdruck verzeihen).
werner

mit hinreichend habe ich auf dich bezug genommen: ist unterbestimmt....., was ja stimmte, wenn man a, b, r und s berechnen sollte.

mir persönlich ist die "kreuz...methode" deutlich lieber

02.06.2005, 14:14

Soulmate

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ich hab jetzt nochmal t und r ausgerechnet.
ich weiß nicht genau warum, aber ich glaub das macht man so um einen widerspruch zu überprüfen.

hab a durch t ersetzt und folgendes für r und s rausbekommen:

s = 4+1t
r = -4-2t

ist das richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (-4-2t)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + (4+1t) \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

welchen sinn hatte denn jetzt das was ich gemacht hab (wenn es überhaupt richtig war)?

02.06.2005, 16:00

brunsi

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@soulmate: was hattest du jetzt genau eigentlich vor?? deinen letzten post kann ich gerade nicht nachvollziehen.

02.06.2005, 16:34

Soulmate

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hatte da nen schreibfehler drin, habs jetzt korrigiert.

hab ja r und s ausgerechnet und das in die ebene E1 eingesetzt.
hab das mittlerweile ausgerechnet und da kommt die selbe schnittgerade raus wie bei g:x.
nur dieses mal halt mit t als richtungsfaktor statt a.

da das selbe rausgekommen ist wie bei x:g, scheine ich wohl richtig nachgewiesen zu haben, dass es da keinen widerspruch gibt.

ich glaub ich hab das mit der schnittgerade bei ebenen nun verstanden.

02.06.2005, 16:39

brunsi

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das klingt gut, wenn du es verstanden hast, dann freuen wir uns alle Tanzen

09.06.2005, 22:08

Soulmate

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ich dachte ich hätte es verstanden, aber irgendwie komme ich mit dieser aufgabe nicht klar, auch wenn sie ziemlich einfach zu sein scheint:

Ich muss hier die Lagebeziehungen der 2 Ebenen untersuchen:

$\begin{eqnarray*} E_1 :\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2 :\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + a\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + b\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab hier r=-2s rausbekommen, nachdem ich es gleichgesetzt habe.

als paramatergleichung bekomme ich dann raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich eine prüfung mache, bekomme ich was anderes raus.
kann es also sein, dass es hier einen widerspruch gibt und die Ebenen sich überhaupt nicht schneiden?
oder ist meine parametergleichung vll nicht richtig?

10.06.2005, 15:57

brunsi

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ich hab das jetzt nicht im einzelnen nachgerechnet ob es tatsächlich $\begin{eqnarray*} r=-2s \end{eqnarray*}$ ist, aber

falls dem so ist, dann musst du das nur für den Parameter r in dieser gleichung substituieren:

$\begin{eqnarray*} E_1 :\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann bekomme ich raus:

$\begin{eqnarray*} E_1 :\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + -2s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so dass kann man doch addieren, indem man vorher aber noch die -2 vor dem parameter s in den vektore reinbringt

$\begin{eqnarray*} E_1 :\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt fasst du zusammen:

$\begin{eqnarray*} g :\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

edit: ich weiß nicht, weshalb du da den Ortsvektor veränderst? verwirrt

es heißt doch $\begin{eqnarray*} r=-2s \end{eqnarray*}$ und NICHT $\begin{eqnarray*} r=-2+r \end{eqnarray*}$ .
beim der gleichung von r mit dem Additionszeichen hätte sich der Ortsvektor auch verändert, ABER bei DEINEM ie rnicht.

edit: $\begin{eqnarray*} E_1 durch g substituiert \end{eqnarray*}$

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