Kästchenmultiplikation bei Matrizen

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Egon Auf diesen Beitrag antworten »
Kästchenmultiplikation bei Matrizen
Hi!

Ich soll die Regel für die Kästchenmultiplikation von Matrizen beweisen, also dass



gilt, wobei A, B, C, D sowie A', B', C' und D' jeweils selbst Matrizen sind.

Nur fehlt mir leider der Ansatz dazu. Ich habe zuerst gedacht, ich könnte mit 2x2-Matrizen anfangen, die ich in 1x1-Kästchen unterteile; dann wäre die Kästchenregel mit der Multiplikationsregel identisch. Davon ausgehend wollte ich mit Induktion weiterfahren, aber mir scheint, dass das gar nicht geht.

Hat wer einen Tipp? Danke
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Liste die Elemente der Matrizen explizit auf, multipliziere die Matrizen wie gewohnt und zeige, dass das Matrixprodukt obige Gestalt besitzt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht, fuer Vektoren zu zeigen:



Es hilft, sich klarzumachen, dass sich der Raum aufspannt in , wobei und und k die Anzahl der Spalten von ist. Damit gilt weiter



Dabei soll die Orthogonalprojektion auf darstellen.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden für die Tipps.

@therisen: Ich werde das dieses Wochenende gleich mal ausprobieren und schauen, ob ich's auf die Reihe kriege.

EDIT: Habe es so probiert:



mit

Aber nun weiss ich schon wieder nicht, wie ich weiter komme.

@WebFritzi: Es ist mir zwar fast peinlich, aber den zweiten Teil deiner Erklärung («Es hilft, sich klarzumachen...») verstehe ich überhaupt nicht. Zum ersten Teil: Wieso reicht es, zu zeigen, dass das für eine 2x2- und eine 2x1-Matrix gilt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egon
@WebFritzi: Es ist mir zwar fast peinlich, aber den zweiten Teil deiner Erklärung («Es hilft, sich klarzumachen...») verstehe ich überhaupt nicht.


Es müsste eher mir peinlich sein, denn es ist teilweise Unsinn, den ich gepostet hatte. Entschuldige.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Das beruhigt mich dann etwas, danke.

Ich habe noch weiter in Richtung Vorschlag von therisen nachgedacht. Mein Problem: Es erscheint mir absolut logisch, dass die Summe, wie ich sie in meinem letzten Posting beschrieben habe, genauso aus der Kästchenmultiplikation entsteht. Aber irgendwie weiss ich nicht, wie ich das jetzt formal aufschreiben kann.

EDIT:
Ich glaube, jetzt hab ich es verstanden. Ich nehme die l*m-Matrix M und unterteile sie in vier Kästchen: A ist r Zeilen und s Spalten gross, B ist r Zeilen und (m-s) Spalten, C ist (l-r) Zeilen und s Spalten und schliesslich D (l-r) Zeilen und (m-s) Spalten.

, wobei

,

,

,



Dann nehme ich die m*n-Matrix M' und unterteile sie analog, sodass die Kästchen "kompatibel" sind.

, wobei

, ,

,



Nun multipliziere ich M*M'



Wobei

,

,

,



Es gilt

und gemäss der zu beweisenden Regel gilt auch

,
,
,


Nun ist ja

und


somit ist bewiesen:

Analog ginge das dann für die anderen drei Kästchen.


Dadurch ist dann auch gleich bestätigt, dass ich die Matrix in mehr als 2x2 Kästchen unterteilen kann, da ja für die Multiplikation einzelner Kästchen die gleichen Regeln gelten wie für die Matrixmultiplikation an sich.

Ist das so korrekt?
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Ok, mit deinem EDIT hat sich das erledigt. So meinte ich das.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! *Das* war ja vielleicht eine Zangengeburt....

Eigentlich nicht schwierig, aber mit viel Schreibarbeit verbunden. Der Beweis braucht recht viel Konzentration und Ordnung, aber es hat sich auf jeden Fall gelohnt.
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