Äquivalenzklassen

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11.01.2008, 18:05	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen Hallo! Ich komm in der Angehängten Aufgabe einfach nicht weiter... In der 4 a) zu zeigen das es eine Äquivalenzrelation ist, ist kein Problem... nur habe ich leider absolut keine Ahnung was eine Äquivalenzklasse ist oder wie man sowas explizit angibt... ich hab hier zwei dicke Mathe Schinken liegen aber alle erklärungen die ich zu Äquivalenzklassen finden konnte sind für mich nur chinesisch. Kann mir das vielleicht jemand ansatzweise erklären oder mir zumindest eine Idee geben wie ich das lösen kann? Tausend dank an alle die sich melden!
11.01.2008, 19:42	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
mit deiner äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ kannst du prüfen welche elemente von $\begin{eqnarray} M^2 \end{eqnarray}$ äquivalent sind. eine äquivalenzklasse eines elements ist nun die menge aller elemente, welche zu dem vom anfang äquivalent sind, das heisst du nimmst ein $\begin{eqnarray} (a,b)\in M^2 \end{eqnarray}$ und bestimmst alle elemente $\begin{eqnarray} (x,y)\in M^2 \end{eqnarray}$ so, dass jeweils $\begin{eqnarray} (a,b) S (x,y) \end{eqnarray}$ gilt. das ganze schreibt man dann meistens $\begin{eqnarray} \bar{(a,b)}=\{(x,y)\in M^2\quad\|\quad (x,y)S(a,b)\} \end{eqnarray}$ was in prosa folgendes heisst: $\begin{eqnarray} \bar{(a,b)} \end{eqnarray}$ ist die menge aller elemente $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M^2 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} (x,y)S(a,b) \end{eqnarray}$
11.01.2008, 20:01	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das heißt also wenn in der Aufgabe steht (2,5) muss ich das im Prinzip nur einsetzen und gucken was rauskommt? (2,5) = {(x,y € M²) \| (x,y) S (2,5)} also: 2+y = x+ 5 \| -2 y = x+ 3 aber dann kann ich ja quasi ne unendlich große Menge angeben... Wie kann ich denn das Ergebnis angeben? Irgendwie hab ich das noch nicht so ganz gerafft...
11.01.2008, 20:07	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du sollst nix einfach einsetzen, sondern überlegen also, du hast ja richtig geschrieben was gelten muss, damit $\begin{eqnarray} (2,5)S(x,y) \end{eqnarray}$ ist, nämlich: $\begin{eqnarray} 2+y=x+5 \end{eqnarray}$ wieso solltest du denn unendlich viele lösungen dafür finden? das wäre richtig wenn $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, aber es ist ja $\begin{eqnarray} (x,y)\in M^2 \end{eqnarray}$ und nun schau dir mal genau an, welche zahlen denn in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegen
11.01.2008, 20:09	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
obwohl... wenn ich drüber nachdenke aus der Menge M² kommen ja dann nur 1 und 4 in frage... (x,y) = (1,4) weil: y=x+3 <=> 4=1+3 kann das sein?
11.01.2008, 20:14	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
also das ist sicher nicht der einzige... du kannst ja mal systematisch durchgehen, vll fällt dir was auf: $\begin{eqnarray} x=1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2+y=6\Rightarrow y=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=2: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2+y=7\Rightarrow y=5 \end{eqnarray}$ ... geht auch $\begin{eqnarray} x=15 \end{eqnarray}$ ?
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11.01.2008, 20:19	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
aber M² hat doch nur die zahlen 1,4,9,16 ect.. ich dachte es geht nur (x,y) aus M² also die zahlen 1-15 zum quadrat...
11.01.2008, 20:41	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
oh nein, da musst du dir nochmal die definition von produktmenge anschauen: $\begin{eqnarray} M^2=M\times M=\{(x,y)\quad\|\quad x,y\in M\} \end{eqnarray}$
11.01.2008, 20:52	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
okay... da war was... M X M Also müsste das ergebnis lauten: {(x,y) € M² \| 1 < x < 10 UND 4 < y < 13 } [< soll kleiner/gleich sein] Bitte bitte bitte lass es stimmen!
11.01.2008, 20:54	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs nicht nachgerechnet aber ich glaube dass mit "explizit angeben" gemeint ist, dass du die elemente einzeln aufschreiben sollst ? dazu zur halben arbeit: wieso muss man nur die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -werte testen und nicht noch zusätzlich die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -werte? (axiome der ÄR)
11.01.2008, 21:08	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
Also okay: Explizit: (x,y € M² \| (1,4) 2,5) 3,6) 4,7) 5,8) 6,9) 7,10) 8,11) 9,12) 10,13)} Mhh ich glaube mann muß nur die X Werte Testen da eine ÄR Symetrisch ist. d.h.: x S y => y S x richtig?
11.01.2008, 21:11	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
fast alles richtig, schau dir nochmal die elemente $\begin{eqnarray} (10,13) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (11,14) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (12,15) \end{eqnarray}$ ...
11.01.2008, 21:22	Merlett	Auf diesen Beitrag antworten »
STIMMT!! Beide Seite müssen ja nur gleich sein und y darf nicht über 15 kommen! Also kommt noch (11,14) (12,15) hinzu! Ich hab nicht richtig nachgedacht und darauf geachter wann y+2 über 15 geht! Tausend dank für deine Zeit und Mühe. Ich hoffe ich habs endlich begriffen :-)

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