Beweis bzgl. Mengen

02.06.2005, 10:13

oldwise

Beweis bzgl. Mengen

Hallo.

Ich soll zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} A\times \mathbb R \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen.

Die " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung ist trivial. Für die andere Richtung habe ich mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} A\times \mathbb R \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt gilt: $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$

nun kann $\begin{eqnarray*} A\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit A offen oder abgeschlossen sein. angenommen A ist offen, dann ist $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen.

Wie kann ich die Annahme A ist abgeschlossen zum Widerspruch führen?

02.06.2005, 12:14

sdf

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sdf
Wenn du annimmst das A abgeschlossen ist, dann müssen in A auch Randpunkte existieren. Du nimmst dir jetzt also einen dieser Punkte, konstruierst dann $\begin{eqnarray*} A \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ und kommst darauf das $\begin{eqnarray*} A \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, im Gegensatz zur Voraussetzung.

02.06.2005, 13:58

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RE: Beweis bzgl. Mengen

Zitat:

Original von oldwise
nun kann $\begin{eqnarray*} A\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit A offen oder abgeschlossen sein

... oder keins von beiden!!! geschockt

02.06.2005, 19:31

oldwise

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RE: Beweis bzgl. Mengen
richtig, aber wenn A weder offen noch abgeschlossen ist, kann dann $\begin{eqnarray*} A\times\mathbb R \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ überhaupt noch offen sein?

02.06.2005, 19:49

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RE: Beweis bzgl. Mengen
Mag sein, aber das zu begründen ist etwa genauso aufwändig wie die eigentliche Aufgabe. Augenzwinkern

02.06.2005, 21:38

sdf

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sdf
Wo ist das Problem es ist gar nicht möglich das A weder offen noch abgeschlossen ist, das folgt ganz einfach mit dem Widerspruchsbeweis s.o.
und der ist auch nicht gerade aufwändig..

02.06.2005, 21:54

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Ich weiß ja nicht, wie du offen und abgeschlossen definierst, aber bei mir sind z.B. halboffene Intervalle wie [0,1) weder offen noch abgeschlossen.

02.06.2005, 22:13

sdf

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sdf
Ich definiere es genauso... Hammer

...du hast Recht, man muss die Annahme abschwächen. Das Gegenteil von offen ist ja nicht abgeschlossen sondern nicht offen.
Also läuft der Widerspruchsbeweis unter der Annahme A sei nicht offen. Der Beweis wird aber nicht aufwändiger sondern läuft genauso ab.

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