Problem bei der Bildung der Umkehrfunktion

02.06.2005, 10:16

brunsi

Problem bei der Bildung der Umkehrfunktion

hat mal jemand einen tipp, wie ich folgendes nach x auflösen könnte?

$\begin{eqnarray*} y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

es funktioniert ja irgendwie nicht mit logarithemn oder ich hab nen brett vorm kopf?!!?!!

02.06.2005, 10:19

klarsoweit

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RE: Problem bei der Bildung der Umkehrfunktion
Substituiere z=e^x.

02.06.2005, 10:21

JochenX

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$\begin{eqnarray*} y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=arsinh(y) \end{eqnarray*}$

verwirrt

02.06.2005, 10:21

brunsi

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RE: Problem bei der Bildung der Umkehrfunktion
stimmt, danke. ich poste heut abend mal die lösung rein.

edit: @LOED: ich wollte ja gerade damit deins herleiten, wollte wissen, wie diese Hyperbolische Funktion auch aussehen könnte.

welche gleichung also dem arsinh(x) entspräche!!

02.06.2005, 10:31

JochenX

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okee, da hast du natürlich vollkommen recht.
dann führt klarsoweits ansatz auf jeden fall zum ziel (kann man sich natülich prinzipiell sparen die substitution, wenn man gleich nach e^x auflöst), nur bekomme ich am ende mehrere möglichkeiten.....

edit: aber die eine fällt wohl wegen dem defbereich des ln weg

02.06.2005, 10:32

brunsi

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und ich komm nicht mal so weit um das ohne substitution aufzulösen. hast du dafür logarithmen benutzt?

02.06.2005, 10:34

JochenX

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die wirst du später auch brauchen, wenn du substituierst, dann musst du ja auch resubstituieren.
ja, ich habe den ln genommen, wie ist eigentlich die gegebene formel zum arsinh?

02.06.2005, 10:47

brunsi

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@LOED: genau das will cih ja mit der Umkehrfunktion herausfinden, aber dazu muss ich es ja nach x erst einmal auflösen und anschließend variablen vertauschen, denn in meiner formelsammlung arsinh t nicht drin!!

02.06.2005, 10:49

Frooke

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Die kann ich beisteueren:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \end{eqnarray*}$

(@Jochen: Du hast natürlich recht, dass eigentlich zwei Lösungen herauskommen, also irgendwo ein
$\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$
drin ist... Ich muss mir aber grad überlegen, ob das echt wegen des Definitionsbereichs des ln herausfällt...)

Ach ja übrigens:
$\begin{eqnarray*} \mathbb D = \mathbb R \\ \mathbb W = \mathbb R \end{eqnarray*}$

EDIT: @brunsi: Wie weit bist Du denn gekommen?

02.06.2005, 11:08

JochenX

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bist du sicher, dass es nicht arsinh(x)=ln(1+WURZEL....) heißen muss?

Forum Kloppe

kloppe an mich, vergiss es
x vorne stimmt
hatte erst ein y vergessen zu übertragen und dann nur an einer stelle nachgefügt

und ja, das - fällt wegen defbereich weg

02.06.2005, 11:17

Frooke

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@Jochen: Ja schon, denn
$\begin{eqnarray*} y =\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y =\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right) \ \ \ |e^x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2yz = z^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2-2yz-1 & = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=\frac{2y \pm \sqrt{4y^2 +4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2+1} \end{eqnarray*}$

Dann Rücksubstitution:
$\begin{eqnarray*} x=\ln z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\ln\underbrace{\left(y \pm \sqrt{y^2+1}\right)}_{\stackrel{!}{>}0} \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung:
$\begin{eqnarray*} \left(y + \sqrt{y^2+1}\right)>0 \ \forall y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Also hier geht es ohne Einschränkung!
Dann
$\begin{eqnarray*} \left(y - \sqrt{y^2+1}\right)<0 \ \forall y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Geht es also nicht!
Daher ist
$\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh}(x)=\ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) \end{eqnarray*}$

Man kann das noch an den Plots sehen!

Konklusion des Ganzen: Du hattest recht, Jochen Freude

liegt am Definitionsbereich des ln, dass da das Minus herausfällt!

EDIT:

Zitat:

Original von LOED
und ja, das - fällt wegen defbereich weg

Mist, da war ich zu spät! Dafür hab ich's noch mit Zeichnungen belegt Hammer

EDIT: x und y vertauscht. Danke MSS

02.06.2005, 12:35

brunsi

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@Frooke und Jochen: jetzt habt ihr mir den ganzen spaß am rechnen verdorben unglücklich

wollte das doch selber machen und bin ja auch bis zu diesem schritt gekommen:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=\frac{2y \pm \sqrt{4y^2 +4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2+1} \end{eqnarray*}$

aber nun traurig

02.06.2005, 12:49

iammrvip

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Jetzt musst du rücksubstiuieren.

Du hast

$\begin{eqnarray*} z = \mathrm e^x \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} x = ... \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} z = \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ das nach x auflösen Augenzwinkern

02.06.2005, 13:35

Frooke

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Zitat:

Original von brunsi
@Frooke und Jochen: jetzt habt ihr mir den ganzen spaß am rechnen verdorben unglücklich

wollte das doch selber machen und bin ja auch bis zu diesem schritt gekommen:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=\frac{2y \pm \sqrt{4y^2 +4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2+1} \end{eqnarray*}$

aber nun traurig

Sorry, aber um das Plusminusproblem zu beheben musste man halt die Rechnung zu Ende führen... Tut mit leid! (War nicht so gut, sorry Gott

)
Aber Du kannst Es ja nochmals rechnen und anschliessend korrigieren! Augenzwinkern

(ausserdem bist Du da wo Du bist schon fast fertig Augenzwinkern

)... Sorry trotzdem... LG

02.06.2005, 13:40

brunsi

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ja macht ja nüscht, so weiß ich dann wenigstens ob ichs richtig gerechnet habe, also nach der resubstitution alles richtig habe smile

02.06.2005, 16:23

Frage

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Mal eine kurze Frage am Rande: Was bedeutet denn dieses umgedrehte A, wie es bei Frooke in der Fallunterscheidung vorkommt?

Danke!

02.06.2005, 16:44

Frooke

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Das heisst: «für alle».

Ich meine mit dieser Zeile:
$\begin{eqnarray*} \left(y + \sqrt{y^2+1}\right)>0 \ \forall y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
also übersetzt eigentlich, dass eben der linke Teil grösser ist als Null für alle y aus IR... (Es stimmt also, für jedes beliebige reelle y, das Du einsetzt...

EDIT:
In Latex schreibst Du es mit \forall Augenzwinkern

2. EDIT: x und y vertauscht. Danke Max!

02.06.2005, 17:32

etzwane

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Umkehrfunktion

Zitat:

Original von brunsi
jetzt habt ihr mir den ganzen spaß am rechnen verdorben wollte das doch selber machen

du kannst natürlich noch

$\begin{eqnarray*} y=\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \end{eqnarray*}$

nach x auflösen, wird auch gelegentlich gebraucht.

02.06.2005, 18:08

brunsi

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RE: Umkehrfunktion
und cosh x dann sicherlicha uch noch. mal schauen, ob ich das bis morgen mittag hinbekomme?? ich werd eh noch mal nachfragen *gg*

02.06.2005, 19:49

Frooke

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Kleiner Hinweis:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{sinh}x:=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \operatorname{cosh}x:=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

In diesem Sinn musst Du nicht mehr alles neurechnen für den Hyperbolischen Cosinus... Augenzwinkern

02.06.2005, 23:33

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \left(y + \sqrt{y^2+1}\right)>0 \ \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Bist du sicher, dass du nicht $\begin{eqnarray*} \forall\ y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ schreiben wolltest? Augenzwinkern

Gruß MSS

03.06.2005, 00:57

JochenX

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ist doch nicht falsch......

Wink