computertomographie und mathematik

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starkstrompeter Auf diesen Beitrag antworten »
computertomographie und mathematik
hallo,

ich soll morgen ein paar minuten was über die mathematik erzählen, die hinter der computertomographie steht. wir behandeln das thema mehrstufige prozesse, und damit das rechnen mit matritzen. allerdings ist mir noch nicht klar, auf was ich da raus soll.
im internet habe ich bisher vor allem informationen zu einer "radontransformation" gefunden, jedoch hat mich nichts an unser eigentliches unterrichtsthema erinnert.
deshalb meine eigentliche frage: gibt es im bezug auf die computertomographie ein mathematisches verfahren oder phänomene, die speziell mit der verarbeitung in matrizen in verbindung stehen? oder wo könnte ich da ansetzen?

peter
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Radontransformation (bzw. Fouriertransformation) ist schon das richtige Stichwort. Du darfst dich nicht durch die Integrale abschrecken lassen: In der praktischen numerischen Auswertung sind diese Integrale sämtlich Summen von irgendwelchen Produkten, die man dann "geordnet" auch als Matrixprodukte bzw. Produkte von Matrizen und Vektoren darstellen kann.
starkstrompeter Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine antwort!

ich habe mich jetzt eine weile mit der sache befasst, und bin zu dem schluss gekommen, das morgen anhand einem 3x3-feld zu demonstrieren. dabei stellen die einzelnen felder unterschiedliche (gewebe)werte dar:

x1 x2 x3
x4 x5 x6
x7 x8 x9

als beispielwerte verwende ich diesen vektor:

5
7
6
3
9
4
4
5
8

wobei diese werte eigentlich unbekannt sind, und berechnet werden sollen.

diese felder wird nun jeweils dreimal horizontal, vertikal und diagonal von einem röntgenstrahl durchdrungen, was neun messwerte (summen der einzelfelder) ergibt:

18
16
17
12
21
18
10
19
9

eine 9x9 matrix soll den zusammenhang mit jeweils drei horizontal, vertikal und diagonal gemessenen summen herstellen:

1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0

die spalten stehen für die neun felder, überall wo eine eins steht, geht der wert in die summe ein.

testweise habe ich die 9x9-matrix bereits mit dem vektor der eigentlich unbekannten werte multipliziert, was tatsächlich den summenvektor ergibt. allerdings möchte ich nun genau das gegenteil tun, und ich verstehe nicht, wie ich das verfahren rückgängig machen kann. ich hoffe, meine erklärung ist halbwegs verständlich, und jemand kann mir weiterhelfen.

peter
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe die Gleichungen (wenn es denn stimmt verwirrt ) :

x1+x2+x3=18 horizontal
x4+x5+x6=16
x7+x8+x9=17

x1+x4+x7=12 vertikal
x2+x5+x8=21
x3+x6+x9=18

x2+x4=10
x3+x5+x7=19 diagonal
x6+x8=9

das wären 9 Gleichungen für die neun Unbekannten x1...x9, die aber nicht alle voneinander unabhängig sein dürften.

Einfach mal durchrechnen, evtl. mit z.B. x5=t als beliebiger Parameter.

EDIT: ich kam nur auf die Ausgangswerte, wenn ich einen der Werte außer x1, x5, x9 vorgegeben habe verwirrt
starkstrompeter Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so als gleichungssystem soll man das vermutlich auffassen.
aber du siehst auch keine möglichkeit, das komplett ohne vorgegebene werte zu berechnen?

peter
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich befasse mich zum ersten Mal mit so einer Aufgabe und versuche halt, auf elementare Weise an das Problem heranzugehen. Nachdem jetzt Probleme aufgetreten sind, müsste ich den Sachverhalt neu überdenken, wenn es nur nicht schon so spät wäre ....

Und zu den vorgegebenen Werten: eigentlich hätte ich erwartet, dass der Computertomograph wesentlich mehr Messwerte liefert, als zur Berechnung erforderlich sind, so dass durch irgendeinen geeigneten Algorithmus die tatsächlichen Werte (bei entsprechender Eichung) ermittelt werden können.
 
 
starkstrompeter Auf diesen Beitrag antworten »

so, die sache hat sich weitgehend zum guten gewendet. mein mathelehrer wollte das gar nicht so genau haben, und dann habe ich die berechnung einfach "ungekehrt" vorgestellt.

auf jeden fall danke für eure mithilfe!

peter
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