Dimension eines Unterraums

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ellocko Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Unterraums
Die Menge ist eine Unterraum von der Dimension .

Wie zeige ich das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für liefert die Spurbedingung die Relation

Damit hast du ein homogenes lineares Gleichungssystem in den Unbekannten mit nur einer Gleichung (nämlich der obigen) zu lösen. Dieses Gleichungssystem hat somit den Rang 1. Also ist die Dimension des Lösungsraumes (das ist aber gerade dein ) .
ellocko Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm... Würdest du das bitte nochmal genauer erklären. Im Moment kann ich dem Ganzen noch nicht so richtig folgen... verwirrt
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Der K-Vektorraum V aller nxn-Matrizen hat die Dimension n^2. Das sollte klar sein, denn du hast genau n*n Komponenten.

Die Spurbedinung ist nun eine kleine Einschränkung von V. Wir müssen zusätzlich beachten, dass die Summe der Diagonalelemente jeder Matrix 0 ergibt. Damit können wir schonmal die Nicht-Spurelemente "frei" wählen und haben somit schonmal n*(n-1) Dimensionen zugesichert. Die Spurelemente folgen der Gleichung a_11 + a_22 + ... + a_nn = 0. Die Spur so für sich betrachtet hätte also die Dimension (n-1) (denn ein a_ii muss man von den anderen abhängig machen). Insgesamt ergibt sich:

n*(n-1) + (n-1) = n^2 - 1


Vorsicht: Dies ist eine sehr informelle Darstellung. Augenzwinkern
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