komplexe zahlen z* = z^3

13.03.2004, 11:50

acky

komplexe zahlen z* = z^3

hi,
kann mir jemand bei der lösung der gleichung
z* = z^3 // z* heisst: komplex konjugiert z Element Komplexer Zahlen

bzw.

z* = z^2

helfen?

danke,
acky

acky ([email protected]) 13.03.2004 10:04:58

13.03.2004, 13:33

MatheBlaster

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Hi acky,

beim ersten habe ich mich irgendwie festgefahren. Am besten ist es dabei aber meistens, z^3 in der E- Form, also entsprechend der Eulerschen Formel darzustellen, da man dann wunderbar potenzieren kann.

Beim zweiten einfach die quadratische Klammer auflösen, und dann die Gleichung nach x und y auflösen, geht zum Beispiel sehr schön mit Koeffizientenvergleich.
Mein Ergebnis: $\begin{align*} z=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}j \end{align*}$

13.03.2004, 13:50

acky

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zur lösung folgender aufgabe:

z* = z^3 // z komplex

bin auf folgendem stand:
r^3 * e^( j*3*phi) = r * e^( -j*phi) <=>
r^2 * e^( j*4*phi) = 1 <=>
r^2 * ( cos(4*phi) + j*(4*phi) = 1
nun wurde argumentiert (prof.):
da 1 reell, muss j*(4*phi) = 0 sein.

nun schliesse ICH:

=> cos(4*phi) = 1

=> r^2 = 1

frage:

a) damit kann ICH nicht sicher eine lösungsmenge herausfiltern.
(z=0 ist o.k.)

b) bei der aufgabenstellung

z* = z^2

käme ich nach gleichem schema auf:
r ( cos(3*phi) + j*sin(3*phi) ) =1
wie soll ich damit u.a. (4 lösungen) auf eine lösung
z=-1/2+sqrt(3/4)*j kommen – aus übungen bekannt.

danke,
acky

13.03.2004, 14:23

MatheBlaster

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Wie mir gerade auffällt: z* = z^3 für z=1 + 0*j und z=-1 + 0*j passt wunderbar, und mit dem z^3 kann man sich bestimmt darauf einigen, dass das für mindestens drei Lösungen oder so zählt smile

Ja, und wie Du sagtest natürlich z = 0 + 0*j

Das kann man auch ohne scharfes hingucken herauskriegen...
denn für eine komplexe Zahl z=x+y*j berechnet sich r aus
$\begin{align*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \varphi = \arctan \frac{y}{x} \end{align*}$ .
Also gilt $\begin{align*} r^2 \cdot ( \cos \varphi + j \sin \varphi) = (x^2 + y^2) \cdot \left( \cos \left(4 \cdot \arctan \frac{y}{x} \right) + \sin \left(4 \arctan \frac{y}{x}\right) \right) \end{align*}$
Man beachte, dass meines Wissens in der Klammer $\begin{align*} j \sin \varphi \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} j \varphi \end{align*}$ steht.

Nun, wie dein Professor geschickt argumentiert hat, ist 1 reell, also muss y=0 sein, woraus folgt, dass $\begin{align*} \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{0}{x} = 0 \end{align*}$ . Weiterhin ist $\begin{align*} \cos 0 = 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sin 0 = 0 \end{align*}$ und schließlich noch $\begin{align*} r^2 = x^2 + y^2 = x^2 \end{align*}$ .

Also ergibt sich $\begin{align*} x^2 \cdot (1) = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \end{align*}$

Bei der zweiten Aufgabe ergibt sich ja dann schlussendlich
$\begin{align*} \sqrt{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \end{align*}$ , also z = 1 + 0*j

13.03.2004, 14:37

acky

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super! das ist wirklich mal brauchbar!!! 8)
konntest du mir noch kurz den weg über die eulerform skizzieren, der zu deinem oben genannten ergebnis führt?

danke,
acky

13.03.2004, 14:51

Ben Sisko

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Darf ich mal kurz zwischenfragen, warum ihr j statt i schreibt?

13.03.2004, 14:57

acky

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meine, die gleichung z^2 = z* in eulerform so zu lösen, dass
z=-1/2+sqrt(3/4)*j etc. herauskommt ...

danke,
acky

(benutzen im studium primär das j - warum kann ich
dir nicht genauer sagen ...)

13.03.2004, 15:03

Ben Sisko

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Aha, ok. Maschbau oder E-Technik oder sowas?

Was hälste davon dich zu registrieren? Dann würd ich dir auch ein Willkommen

hinhalten

13.03.2004, 15:21

acky

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nett gemeint! vor der klausur brauch ich eh eher antworten als damit dienen zu können. studiere medieninformatik.
p.s.: hast du die aufgabe verfolgt und kannst mir dazu noch was sagen?

acky

13.03.2004, 15:22

Ben Sisko

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Nicht so richtig. Da Matheblaster auch online ist, hoff ich mal, dass er dir weiterhilft.

13.03.2004, 15:23

mYthos

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@Ben, @all

Um Verwechlungen mit der Momentan-Stromstärke, die (ebenfalls) mit i bzw. i(t) bezeichnet wird, zu vermeiden, wurde in der Physik für die imaginäre Einheit statt dem i der Buschstabe j eingeführt!

Somit erhält z.B der Audruck

i(t) = Io*e^(jwt) wieder einen eindeutigen Sinn!

Gr
mYthos

13.03.2004, 15:25

Ben Sisko

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Danke mythos

13.03.2004, 15:30

MatheBlaster

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Ein j sieht immer aus wie ein j. Ein i dagegen sieht manchmal aus wie eine 1 oder ein l oder ein waagerechter Strich :]

Ok, nach der Eulerformel gilt ja $\begin{align*} r \cdot e^{j \varphi} = r \cdot \left(\cos \varphi + j \sin \varphi \right) \end{align*}$ .
Also ist $\begin{align*} z^3 = \left( r \cdot e^{j \varphi} \right)^3 = r^3 \cdot e^{3 j \varphi} = r^3 \cdot ( cos 3 \varphi + j \sin 3 \varphi ) \end{align*}$
Der Rest verläuft dann genauso, wie schon geschrieben, also alles auf eine Seite bringen, so dass auf der einen Seite dann die komplexe Zahl und auf der anderen die 1 steht, yada yada... smile

Oh, und bitte registrieren. Bis jetzt gab es die Antworten kostenlos, jede weitere Minute kostet 9,99 Euro Augenzwinkern

13.03.2004, 15:51

mYthos

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Zitat:

Original von acky
zur lösung folgender aufgabe:

z* = z^3 // z komplex

bin auf folgendem stand:
r^3 * e^( j*3*phi) = r * e^( -j*phi) <=>
r^2 * e^( j*4*phi) = 1 <=>
r^2 * ( cos(4*phi) + j*(4*phi) = 1

nun wurde argumentiert (prof.):
da 1 reell, muss j*(4*phi) = 0 sein.

nun schliesse ICH:

=> cos(4*phi) = 1

=> r^2 = 1

In deiner Argumentation sind dir Fehler unterlaufen:
Es muss sein:
r² * ( cos(4*phi) + j*sin(4*phi)) = 1
daher
r²*sin(4*phi) = 0 und NICHT 4*phi = 0, das ist ein Unterschied!

Gleichzeitig muss r²*cos(4*phi) = 1 sein!

->>

sin(4*phi) = 0
4*phi = 0 + k*2PI (Periodizität 2PI !)
phi = 0 + k*PI/2, k € IZ

->> r² * cos(k*2PI) = 1 ->> r² = 1

Daraus folgen 4 Hauptlösungen ([0;2PI]

z1 = 1
z2 = j
z3 = -1
z4 = -j

Gr
mYthos

13.03.2004, 16:03

acky

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richtig! vielen dank! mir der lösung bin ich endlich 100% einverstanden. kann ich den z^2 = z* auf dem gleichen wege lösen?
krieg da die kurve nicht so recht!

danke,
acky

13.03.2004, 16:24

mYthos

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Selbstverständlich!
Wir erhalten ..
...

1 = r*e^(j*3*phi)
1 = r*(cos(3*phi) + j*sin(3*phi))

r*sin(3*phi) = 0
und
r*cos(3*phi) = 1

sin(3*phi) = 0
3*phi = 0 + k*2PI
phi = 0 + k*2PI/3, k € IZ

3*phi = 2*k*PI
->> r² * cos(k*2PI) = 1 ->> r² = 1

Daraus folgen nun die 3 Hauptlösungen ([0;2PI]

z1 = 1
z2 = cos(2PI/3) + j*sin(2PI/3) = -0,5 + j*sqrt(3)/2 [= e^(j*2PI/3)]
z3 = cos(4PI/3) + j*sin(4PI/3) = -0,5 - j*sqrt(3)/2 [= e^(j*4PI/3)]

Gr
mYthos

13.03.2004, 16:27

acky

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perfektement!
kann bzw. muss nur noch hinzufügen, dass z=0
auch jeweils noch lösung ist.

danke,
acky

13.03.2004, 18:20

Meromorpher

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Zitat:

Um Verwechlungen mit der Momentan-Stromstärke, die (ebenfalls) mit i bzw. i(t) bezeichnet wird, zu vermeiden, wurde in der Physik für die imaginäre Einheit statt dem i der Buschstabe j eingeführt!

Somit erhält z.B der Audruck

i(t) = Io*e^(jwt) wieder einen eindeutigen Sinn!

Gr
mYthos

Das wäre mir neu. j als imaginäre Einheit Ist mir noch nie, in keinem Lehrbuch, nirgens, begegnet. Kommt wahrscheinlich mehr aus der Elektrotechnik und nicht der "echten" Physik. Augenzwinkern

13.03.2004, 19:30

Drödel

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Wenn du dich mit Quaternionen rumschlägst, dann gibt es i, j und k als "imaginäre Einheiten". Es gilt: $\begin{align*} i^2 =j^2 = k^2 =-1 \end{align*}$ zudem $\begin{align*} i\cdot j = k \qquad j \cdot k = i \qquad k \cdot i = j \end{align*}$ ... und dergleichen mehr
Sowas, wie die "4-dimensionale Erweiterung" der 2-dimensionalen komplexen Zahlen. Nette Sache ;-)

Happy Mathing

14.03.2004, 20:16

acky

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hilfe! wie erhalte ich die "hauptlönsugen"?
ok,

z* = z^3

bring ich in die form:

r^2 * ( cos(4*phi) + j*sin(4*phi) = 1

ich bestimme 4 stellen, an denen sin(4*phi) NULL wird.

soweit ok - aber bitte wie komme ich dann auf diese 4 absolut
richtigen lösungen??? ( + Null selbst )

wo setze ich was wie ein? bitte recht detailliert - steh gerade
so was auf dem schlauch!!!
(und warum taucht das j in der lösung auf - obgleich dieses
doch an einer stellen extra ausgeschlossen wurde?! )

und wie verarbeite ich die zeile

->> r² * cos(k*2PI) = 1 ->> r² = 1
(s. oben bzw. vorherige seite unten)

danke,
acky

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