Skalarprodukt / Herleitung der Formel

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03.06.2005, 13:01

rainbow

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Skalarprodukt / Herleitung der Formel

Das Skalarprodukt, kann mir jmd sagen wir man auf die Formel kommt???!! Ich versteh's leider nicht :/

Liebe Grüße

03.06.2005, 15:22

aRo

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nunja.

das skalarprodukt kommt eigentlich aus der Definition eines Winkels zwischen 2 Geraden im R3.

Es gilt nach dem Cosinussatz:
$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

das Skalarprodukt ist einfach eine Abkürzung des Zählers.

Gruß,
aRo

03.06.2005, 15:27

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wobei es auch folgende Definition gibt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b}=| \vec{a}|*| \vec{b}|* \cos\alpha \end{eqnarray*}$

Aus der leitet man die Formel von aRo her.Und zwar mit dem Cosinussatz in einem einfachen Dreieck

03.06.2005, 15:32

JochenX

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hallo?

EIN skalarprodukt ist einfach nur eine abbildung von zwei elementen eines vektorraumes in den grundkörper.
diese abbildung muss dabei einfach noch einige bedingungen (wie z.b. wenn man das SKP eines vektors mit sich selbst bildet, so is das positiv definit; das SKP ist sesquilinear über C, bilinear über IR;....)

das standardskalarprodukt ist also nur eine definierte abbildung, mehr nicht.........

03.06.2005, 18:52

sqrt(2)

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Wenn man ganz flapsig das Skalarprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ als eine Operation definiert, bei der 0 als Ergebnis herauskommt , wenn die beiden Operanden senkrecht aufeinander stehen, erhält man die Formel auch über den Satz des Pythagoras: $\begin{eqnarray*} |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2=|\vec{a}-\vec{b}|^2 \end{eqnarray*}$ .

06.06.2005, 08:31

rainbow

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Ich habe noch eine Frage.
Also ich weiß jetzt woher der Kosinussatz kommt und kann auch daraus die Formel für das Skalarprodukt ableiten.

Diese Formel habe ich dabei verwendet:
$\begin{eqnarray*} | \vec a | = \sqrt{a1^{2} + a2^{2} + ...+ an^{2}} = \sqrt{ \vec a * \vec a} \end{eqnarray*}$
Frage: Warum gilt die für jedes n? Ist n = 2 kann ich mir das Ganze noch mit dem Pythagoras erklären.

06.06.2005, 10:04

JochenX

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das ist die norm eines vektors im anschauungsraum IR^n.
versuch das ganze doch auch im 3-dimensionalen mit dem pythagoras (2. mal angewendet!) zu erklären...
und dann verallgemeinere für den IR^n

06.06.2005, 10:25

rainbow

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Ich hab das versucht, aber ich hab einen Vorzeichenfehler drin, ich krieg das hier raus:

$\begin{eqnarray*} | \vec a | ^{2} = - a1^{2} + a2^{2} + a3^{2} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, wenn ich meine Rechnung poste, ist das vllt etwas unverständlich, weil keiner meine Skizze vor Augen hat.

Aber ich tu's trotzdem mal, vllt findet ja jmd schon einen Rechenfehler/Denkfehler:

Für das eine Dreieck hab ich mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} | \vec a | ^{2} = \lambda a3 ^{2} + \mu a2^{2} \end{eqnarray*}$

für das andere:
$\begin{eqnarray*} a1^{2} = (1- \lambda) * a3^{2} + (1- \mu) * a2^{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe dann die beiden Gleichungen addiert, und kriege das hier:

$\begin{eqnarray*} | \vec a | ^{2} + a1^{2} = a2^{2} + a3^{2} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} | \vec a | ^{2} = - a1^{2} + a2^{2} + a3^{2} \end{eqnarray*}$

traurig

06.06.2005, 10:28

JochenX

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tja, denkfehler! (und texfehler mit der darstellung, ich sehe da einfach ein hoch 5 und was machen die lambdas da? das hatte ich letztens schon mal.....)

beim 2. pytahgoras ist die erste berechnete seite nicht mehr die hypotenuse....
du musst also auf ihrer seite dazuaddieren.....

mit dem wissen kannst ja noch mal ran gehen.

edit: die ^5 entsteht aus dem µ
bitte verwende \mu dafür

06.06.2005, 10:38

rainbow

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Zitat:

beim 2. pytahgoras ist die erste berechnete seite nicht mehr die hypotenuse....

ich verstehe ehrlich gesagt nicht was du meinst.
wär nett wenn du konkret mal sagen würdest welche seiten du meinst smile

ich weiß, ihr wollt die leute selbst zum denken anregen, aber ich komm momentan echt nicht mehr weiter.

hab das geändert mit dem \mu
hmm bei mir stand da kein ^5

06.06.2005, 10:44

JochenX

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gesucht länge d2

berechne erst d1 aus x1, x2: $\begin{eqnarray*} d_1^2=x_1^2+x_2^2 \end{eqnarray*}$

berechne nun d2 aus d1 und x3, d2 ist dabei hypotenuse;
$\begin{eqnarray*} d_2^2=d_1^2+x_3^2 \end{eqnarray*}$ nebst einsetzen

das kann dann noch in höhere dimensionen induktiov fortgesetzt werden.

mfg jochen

ps: µ wird im latex unter bestimmten browsern angezeigt, firefox mag es nicht

edit: bild vergesseb

06.06.2005, 18:11

rainbow

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dankeschön!
konnte es nachvollziehen...
dennoch weiß ich immer noch nicht, wo denn mein denkfehler liegt...

ich füg mal die zeichnung an.

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