Beweis der Potenzregel beim Ableiten

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Gast0 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Potenzregel beim Ableiten
Hallo,

Ich suche einen Beweis des Satzes
Ich habe schon einen für den Spezialfall gefunden (Differentialquotient, binomischer Satz); allerdings weiß ich nicht, wie ich in diesem Fall (beliebiges reelles n) an die Sache herangehen soll verwirrt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt sehr darauf an, wieviel man voraussetzen kann... Wenn

und

bekannt ist, dürfte es keine Sache sein!
Schreibe

als
Gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das wäre eine Möglichkeit. Allerdings wäre es mir tbh ein wenig elementarer lieber (z.B. über den Differentialquotienten)
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aber keine Ahnung, wie man es für "nur" mit Differentialquotient machen soll... Ich denke, dass man fast über e gehen muss, um es auch für irrationale n zu beweisen...


Vielleicht meldet sich ja noch jemand, der davon mehr Ahnung hat als ich smile

EDIT: Eine kleine Idee hab ich aber noch!
Durch die Quotientenregel (die man ja voraussetzen kann) kann man die Regel auf alle ausweiten...

Bsp.

Nach der Quotientenregel folgt:


Und auf alle rationalen Zahlen kannst Du sie über den Satz der Ableitung der Umkehrfunktion ausweiten!



Für diesen Fall kanns Du über die Umkehrfunktionableitung gehen!

Und für beliebige Brüche schreibst Du um:



und beweist über die Verwendung der Kettenregel! Aber wie gesagt. Damit hast Du's für alle
bewiesen. Aber für IR brauchst Du meiner Meinung schon e...
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

Hast du denn die Ableitung schon für die natürlichen n?

Sonst schreib dir doch einfach mal den Diff.quotienten auf:

für beliebige :



jetzt den binomischen Lehrsatz:



einsetzen. Was fällt dir dann auf verwirrt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Potenzregel beim Ableiten
@Robert:
Zitat:
Original von Gast0
Ich habe schon einen für den Spezialfall gefunden (Differentialquotient, binomischer Satz); allerdings weiß ich nicht, wie ich in diesem Fall (beliebiges reelles n) an die Sache herangehen soll verwirrt


Das hat er schon! Aber kennst Du einen Weg, es für ganz IR zu beweisen, ohne über die euler'sche Zahl zu gehen?
Für ist's ja nun klar...
 
 
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Sry hab ich überlesen Gott Gott

Wenn er das vorraussetzen darf, ist das wohl die einfachte Möglichkeit.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bezüglich des restes der reellen zahlen sollte das ganze dann grenzwertarbeit sein, oder?
denn jede reelle zahl ist grenzwert einer rationalen folge......
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Sry hab ich überlesen Gott Gott

Wenn er das vorraussetzen darf, ist das wohl die einfachte Möglichkeit.


Gibt es denn eine andere?

@Jochen: Wie meinst Du das genau?
Gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antworten smile
Vielleicht sieht ja noch jemand eine Möglichkeit, den Beweis ohne Verwendung von e bzw. ln anzugehen. Ich bin jetzt erstmal weg, vielleicht schaue ich heute abend nochmal rein
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mike, ich werde das hier nicht ausbauen, dafür bin ich analytisch leider zu unbegabt......
aber du kannst eben für jede reelle zahl eine RATIONALE folge finden, deren grenzwert die reelle zahl ist (das sollte klar sein)

dann gilt deine formel für jede rationale zahl aus der folge, damit kannst du (meistens) dann zeigen, dass es auch für den grenzwert gelten muss....
aber für genaueres warten wir lieber mal die meinung der analytiker ab.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke! Wenn ich das also richtig verstanden hab, willst Du darauf hinaus, dass der Beweis für gewissermassen schon den Beweis für impliziert?

Aber genau: Warten wir mal auf die Analytiker (und nicht Analysten, wie's in meinem Wirtschaftsdossier steht Augenzwinkern )
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das ist damit nicht gegeben, das wollte ich nicht sagen
du kannst nur meistens einige dinge für IR folgern, wenn du sie für IQ gezeigt hast.....
mir fallen da insbeondere schöne beweise vom elementare zahlentheorie blatt von vor einigen wochen ein.

mfg jochen

ps: nur als nachtrag
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Ich roll den Thread nochmal etwas auf ...
Also elementar mit dem Differentialquotienten wird es in der Tat schwierig! Eine Möglichkeit ist die angegebene über e. Eine andere, relativ elegante, aber auch relativ viel Theorie benötigende Möglichkeit ist die, die LOED schon ansprach.
Allerdings möchte ich diese hier eben dochmal etwas exakter formulieren! Augenzwinkern
Also, es gibt da einen Begriff der "gleichmäßigen Konvergenz". Mithilfe folgender zwei Sätze kann man die Ableitung dann auch auf anderem Wege berechnen. Dabei wird vorausgesetzt, dass sie für rationale Exponenten gilt. Für diese ist sie ja aber elementar mit dem Differentialquotienten beweisbar, wie in dem Thread ja auch schon besprochen wurde. Zu den Sätzen:

1) Satz von Dini: Die Folge stetiger Funktionen strebe auf der kompakten Menge monoton gegen . Ist dann stetig, so muss die Konvergenz notwendigerweise gleichmäßig auf sein.

2) Jedes Glied der Funktionenfolge sei auf dem Intervall differenzierbar und die abgeleitete Folge konvergiere gleichmäßig auf . Ist dann für wenigstens ein die Folge konvergent, so strebt gleichmäßig auf gegen eine differenzierbare Funktion und strebt gleichmäßig gegen deren Ableitung . Unter den gegebenen Annahmen darf also die Folge gliedweise differenziert werden.

Nun braucht man nur noch eine monotone Folge rationaler Exponenten zu wählen und kann dann den Satz anwenden. Konkret geht das folgendermaßen:
Es sei eine beliebige irrationale Zahl gegeben und wir betrachten nun die Potenzfunktion mit

.

Die Ableitung im Nullpunkt ergibt sich, falls ist, so:

.

Für existiert sie nicht.

Für jedes lässt sich auf folgendermaßen zurückführen:



.

Es bleibt also nur die Ableitung an der Stelle herzuleiten. Falls diese existiert, ist somit überall differenzierbar. Dazu gehen wir von einer ganz neuen Überlegung aus.


Wir nehmen uns eine beliebige Folge rationaler Zahlen mit dem Grenzwert , von der wir aber voraussetzen wollen, dass sie monoton fallend gegen geht. Nun sei eine Funktionenfolge von Funktionen wie folgt definiert:

.

Da wir die Potenzregel für rationale Exponenten bereits bewiesen haben, wissen wir, dass all diese Funktionen differenzierbar sind mit den Ableitungen

.

Sei nun zunächst , wir schränken also alle Funktionen auf das Intervall ein. Da für stets gilt, erhalten wir wegen des monotonen Fallens der Exponentialfunktion mit einer Basis die Ungleichung

.

Somit ist die Funktionenfolge monoton wachsend und konvergiert für punktweise gegen ,

.

Nach dem Satz von Dini ist die Konvergenz nun aber sogar gleichmäßig, da stetig ist. Da auch die Funktionenfolge punktweise konvergiert, und zwar gegen die Einschränkung von auf ,

,

können wir den zweiten Satz von oben anwenden. Dieser besagt, dass unter diesen Voraussetzungen die Funktion differenzierbar ist und ihre Ableitung gleich ist. Da wir uns auf dem Intervall bewegen, erhalten wir nun also die linksseitige Ableitung der Funktion an der Stelle durch:

.

Ganz entsprechend machen wir das Ganze für : Wir schränken alle Funktionen auf das Intervall ein. Wegen für erhalten wir hier wegen :

.

Somit ist die Funktionenfolge monoton fallend und konvergiert für punktweise gegen die Erweiterung von auf das Intervall :

.

Ganz analog zur gerade angestellten Betrachtung erhalten wir nun die Differenzierbarkeit der Einschränkung von auf mit der rechtsseitigen Ableitung der Funktion an der Stelle durch:

.

Wir haben also nun insgesamt die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung von bei und sehen, dass wegen der Gleichheit dieses differenzierbar ist:

.

Wegen der Vorbemerkung ergibt sich daraus:

.



Für die Funktion mit ergibt sich nun die Ableitung ganz einfach:

.

Gruß MSS
Amateur1234567890 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin heute auf noch eine einfachere Variante gestoßen, wie man es mit dem Differentialquotienten machen kann (und wesentlich einfacherer als die Variante von MSS^^).

Einfach formal die ersten 3 Glieder von (x-h)^n hinschreiben. Das erste x^n verschwindet mit dem -x^n hinten. Dann kann man einmal h ausklammern und mit dem unter dem Bruchstrich kürzen.
Dann bleibt schon das n*x^(n-1) vorne stehen, man muss jetzt nur noch die ganzen Glieder, die da hinten kommen mittels dem h gegen 0 gehen lassen und schon steht es da.
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