f-invariant

03.06.2005, 17:17

:-((

f-invariant

Hi Leute,

wie kann man denn zeigen, dass der verallgemeinerte Eigenraum
f-invariant ist?

Man muss ja zeigen: $\begin{eqnarray*} (f-l_\lambda)^if(v)=0 \end{eqnarray*}$

Und benutzen darf man ja nur, dass $\begin{eqnarray*} (f-l_\lambda)^i(v)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Also mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (f-l_\lambda)^if(v)=((f-l_\lambda)^i \circ f)(v) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt darf man doch nicht einfach f und die Klammer vertauschen, oder? Wie macht man es also richtig?

03.06.2005, 22:02

gast1

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Hi.
Überlege dir, warum
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i f(v)=(f-\lambda\, id)^i f(v)-\lambda (f-\lambda\, id)^i(v) \end{eqnarray*}$ gilt und wie du daraus die Behauptung gewinnen kannst.

03.06.2005, 22:30

swerbe

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möglicherweise hilft das:

der von gast1 gezeigte lösungsansatz sieht mir ganz nach einem einsetzungshomomorphismus aus....

03.06.2005, 22:59

:-((

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Zitat:

Original von gast1
Hi.
Überlege dir, warum
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i f(v)=(f-\lambda\, id)^i f(v)-\lambda (f-\lambda\, id)^i(v) \end{eqnarray*}$ gilt und wie du daraus die Behauptung gewinnen kannst.

Das gilt weil das Zeugs hinter dem Minus Null ist. Aber wieso daraus die Behauptung folgt weiß ich nicht. Man darf ja nicht behaupten, dass f(v)=kv gilt.

03.06.2005, 23:14

gast1

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Ich schreibe es mal suggestiver als
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i f(v)-(f-\lambda\, id)^i \lambda\, id(v) \end{eqnarray*}$
Verwende nun die Linearität von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i \end{eqnarray*}$ .

04.06.2005, 16:26

:-((

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Zitat:

Original von gast1
Ich schreibe es mal suggestiver als
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i f(v)-(f-\lambda\, id)^i \lambda\, id(v) \end{eqnarray*}$
Verwende nun die Linearität von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i \end{eqnarray*}$ .

meinst du so? $\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i f(v)-(f-\lambda\, id)^i \lambda\, id(v)=(f-\lambda\, id)^i(f(v)-\lambda\, id(v)) \end{eqnarray*}$

Darf man da dann jetzt das v rausziehen? Wenn ja dann erhält man ja:

$\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i(f(v)-\lambda\, id(v))=(f-\lambda\, id)^i(f-\lambda\, id)(v)=(f-\lambda\, id)^{i+1}(v) \end{eqnarray*}$

04.06.2005, 17:01

gast1

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Ja, du darfst das v da "rausziehen", denn die Differenz zweier Funktionen ist ja gerade punktweise erklärt.
Bei $\begin{eqnarray*} \lambda (f-\lambda\, id)^i id(v)=(f-\lambda \, id)^i\lambda\, id(v) \end{eqnarray*}$ habe ich natürlich auch schon die Linearität von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda\, id)^i \end{eqnarray*}$ verwendet, aber das war dir sicher klar.
Siehst du, dass du jetzt fertig bist?

05.06.2005, 01:45

:-))

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Ok. Danke. Und ja ich seh jetzt, dass man fertig ist.

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