krümmung einer ebenen kurve

13.03.2004, 13:09	Kat	Auf diesen Beitrag antworten »
krümmung einer ebenen kurve hi! ich schreibe grade meine facharbeit über kurven im gleis- und straßenbau. dabei geht es halt auch um die krümmung der straße/gleise. was krümmung anschaulich darstellt kann ich mir schon vorstellen. ich habe jetzt diese formel dafür gefunden, aber ich kann nich so richtig was damit anfangen... $\begin{align} k(x0) = \frac{f''(x0)}{\sqrt{1+f'^2(x0)}^3} \end{align}$ es wäre schön, wenn jemand mir erklären könnte, was es damit auf sich hat bzw. was dahinter steckt thx, Kat
13.03.2004, 14:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Die Krümmung in einem Kurvenpunkt Po(x0\|y0) der Kurve ist der reziproke Wert des Radius des Krümmungskreises an diesem Punkt. Der Krümmungskreis ist so definiert, dass er die Kurve im Punkt Po(x0\|y0) in zweiter Ordnung (Berührordnung 2) berührt, also sozusagen ein "Schmiegkreis" in diesem Punkt an die Kurve ist. Für die Berührordnung 2 gilt: Die Tangenten an die Kurve und an den Kreis in Po sind identisch, haben also die gleiche Steigung. Daher stimmen die Werte beider ersten Ableitungen in x0 überein. Überdies muss dies nun auch für die 2. Ableitungen gelten, es sind also die 2. Ableitungen der Kurve und des Kreises an x0 ebenfalls gleich. Daraus folgt (nach einiger Umrechnung): [Edit by mYthos:] $\begin{eqnarray} r_k(x_0) = \frac{\sqrt{(1 + f '^2(x_0))^3}}{f ''(x_0)} \end{eqnarray}$ und schließlich die Krümmung (als der Kehrwert des Radius' des Krümmungskreises) $\begin{eqnarray} k(x_0) = \frac{1}{r_k(x_0)} \end{eqnarray}$ [Edit by mYthos:] $\begin{eqnarray} k(x_0) = \frac{f ''(x_0)}{\sqrt{(1 + f '^2(x_0))^3}} \end{eqnarray}$ Bemerkung: Die Krümmung kann durchaus beide Vorzeichen haben, der Radius selbst ist dann der Betrag des Kehrwertes dieser. Das Vorzeichen gibt jedoch an, auf welcher Seite sich der Krümmungskreis befindet bzw. ob die Kurve dort positiv (links, konkav) oder negativ (rechts, konvex) gekrümmt ist. Gr mYthos
13.03.2004, 18:36	Kat	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Eine Frage hätte ich noch: in der formel die ich gefunden habe steht die 3, genauso wie bei dem was ich mit dem formeleditor geschrieben habe, hinter der wurzel. du hast jetzt aber kubikwurzel geschrieben... welche von den beiden varianten ist denn jetzt richtig, oder ist das nur ne andere schreibweise, die aber auch für dritte wurzel steht?? Gruß Kat
13.03.2004, 20:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, da hatte ich mich vertan! Die 3 bei der Wurzel heisst nicht 3. Wurzel, sondern stellt eine Hochzahl dar! Es muss ... (Quadratwurzel!) (sqrt(1 + f '²(x0))³ ... lauten, sorry! Ich editiere es mal oben, damit kein Unsinn dort steht. Gr mYthos
16.08.2004, 15:37	Kai	Auf diesen Beitrag antworten »
Kruemmung der Kurve, Einheit! Hallo, dass die Kruemmung der Kehrwert des Radius ist das habe ich bereits herausgefunden. Nun stellt sich fuer mich folgendes Problem: Fuer meine Diplomarbeit (Wahrnehmungspsychologie) sollte ich eine geometrische Figur am Bildschirm programmieren, bei der sich die Kruemmung in Relation zum Kreisausschnittsumfang aendert. Gibt es dafuer eine Einheit? Wenn ich also z.B. immer eine 5 cm lange Kurve habe, dann kann sie in der Kruemmung variieren, bleibt jedoch 5 cm lang, was in meinem Beispiel der Fall ist. Gibt es dafuer eine Einheit (und handliche Formel)? Oder muss man dieses Ergebnis umschreiben, indem man beispielsweise sagt, Kruemmung/Winkel oder Kruemmung/Kreisausschnittsumfang? Vielen Dank, Kai

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