Punktweise/Gleichmässige Konvergenz

05.06.2005, 00:24

pfnuesel

Punktweise/Gleichmässige Konvergenz

Hallo

Habe Probleme mit der punktweisen, bzw. gleichmässigen Konvergenz.

Definition von Wikipedia: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right| \ \mid x\in\mathbb{D}_f\,\}=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun nehme ich als Beispiel $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & (x < 1) \\ 1 & (x=1) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dann genügt diese Funktion doch der obigen Definition? Aber laut Lehrbuch konvergiert die Funktion nur punktweise. Wo ist mein Fehler?

05.06.2005, 08:12

Egal

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Ich kenn als gleichmässige Konvergenz eher das Kriterium was in dem zitierten Artikel direkt darunter steht. Ausserdem wird da auch der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Konvergenzkriterien gezeigt.
Edit: Quatsch entfernt.

05.06.2005, 23:23

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo!
Was heißt denn: "diese Funktion genügt der Definition"??
Man schreibt als Abkürzung auch gern

$\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|_{\infty}:=\sup\{|f_n(x)-f(x)|\ |\ x\in D_f\} \end{eqnarray*}$ .

Du musst also zeigen: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0 \end{eqnarray*}$ . Aber bis jetzt hast du das noch lange nicht gezeigt. Kannst du ja auch gar nicht, weil es nicht stimmt. Bis jetzt hast du nur die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ und ihre Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben, wobei du ja noch nicht einmal gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geht. Augenzwinkern

Gruß MSS

06.06.2005, 00:30

Crotaphytus

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Mal ne ganz andere Frage: Ist dir denn überhaupt anschaulich klar, was punktweise bzw. gleichmäßig konvergent überhaupt heißt und wo der Unterschied liegt? Definitionen sind ja schön und gut, aber wenn man sich nix drunter vorstellen kann bringt das ja nicht sonderlich viel...

06.06.2005, 14:11

pfnuesel

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Danke für die Antworten

Zitat:

Original von Crotaphytus
Mal ne ganz andere Frage: Ist dir denn überhaupt anschaulich klar, was punktweise bzw. gleichmäßig konvergent überhaupt heißt und wo der Unterschied liegt? Definitionen sind ja schön und gut, aber wenn man sich nix drunter vorstellen kann bringt das ja nicht sonderlich viel...

Nein, das ist es ja genau. Mir ist dieser Unterschied anschaulich nicht klar. Es geht nicht um eine Aufgabenstellung, sondern um das Verständnis. Dass das oben betrachtete Beispiel punktweise konvergent ist, nicht aber gleichmässig konvergent, weiss ich (Den Beweis lasse ich aus, darum geht es mir nicht).

Also könnt ihr mir das vielleicht erklären? Wieso ist mein Beispiel nicht gleichmässig konvergent?

06.06.2005, 14:35

Egal

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Mal in groben Worten.

Punktweise Konvergenz gegen eine Funktion ist eine Funktionenfolge wenn sie gegen die Funktion konvergiert. Das heisst mit steigendem n wird die eigentliche Funktion immer besser durch die Folge angenähert. An deinem Beispiel sieht das dann so aus.

Speziell im unteren Beispiel sieht man das die Funktionenfolge schon sehr nah an dem ist was vorgegeben war.

Gleichmässige Konvergenz ist eine viel stärkere Forderung. Hier wird gefordert dass der Unterschied zwischen der Funktion und der Folge nicht von x abhängen möge im betrachteten Intervall. Das heisst ich kann zu einem gegeben N an einer Stelle die Differenz $\begin{eqnarray*} |f(x)-f_n(x)| \end{eqnarray*}$ betrachten und sie hängt nicht von dem gewählten x ab.

Triviales Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=x+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Da drängt sich die Unabhängigkeit vom gewählten x grade zu auf.

08.06.2005, 12:07

pfnuesel

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Okay, vielen Dank für die vielen Antworten. Ich würde übertreiben, wenn ich jetzt behaupten würde, ich wisse den exakten Unterschied zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz, aber so langsam fange ich an zu begreifen.

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