Grenzwert einer Folge

12.01.2008, 12:39

PimpWizkid

Grenzwert einer Folge

Hmm... ich soll zeigen, dass die Folge
$\begin{eqnarray*} a_{n}:=\biggl(1+ \frac{1}{n} \biggr)^{2n} \cdot \frac{n^{2}+1}{2n^{n}+3n+1} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a=e^{2} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hat.

1. Frage: Woher weiß ich überhaupt dass der Genzwert existiert? (Mal davon ausgegangen ich hätte a nicht gegeben)

2. Frage: woher kommt das e² ?

Ich mein, ich versteh ja, dass
$\begin{eqnarray*} \lim a_{n} = \lim \biggl(1+ \frac{1}{n} \biggr)^{2n} \cdot \lim \frac{n^{2}+1}{2n^{n}+3n+1} = \lim \biggl(1+ \frac{1}{n} \biggr)^{2n} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , aber e² kann ich mir nicht erklären...

Vielleicht könnt ihr mir auf die Sprünge helfen...

Danke,
PimpWizkid

12.01.2008, 12:47

tmo

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zu der 1. frage: wenn die grenzwerte der einzelnen faktoren existieren, dann existiert auch der grenzwert des produktes.

zu der 2. frage: kennst du den wert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2008, 12:51

PimpWizkid

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zu 1) verstanden, danke!

zu 2) Ganz ehrlich, den kenn ich nicht *michschäm*

12.01.2008, 13:11

brain man

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Aber wenn du a bissl umformst :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1+ \frac{1}{n})^{2n}* \frac{n^2+1}{2n^n+3n+1}=\lim_{n \to \infty}(1+ \frac{1}{n})^{n}*\lim_{n \to \infty}(1+ \frac{1}{n})^{n}*\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{2n^n+3n+1} \end{eqnarray*}$

und weißt, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} e*e*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist, sind die Teilgrenzwerte doch offensichtlich.

12.01.2008, 13:24

PimpWizkid

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Da hast du schon recht, das kann mich sich so erklären. Aber deswegen versteh ich immer noch nicht, warum
$\begin{eqnarray*} \lim \biggl(1+ \frac{1}{n} \biggr)^{n}=e \end{eqnarray*}$
ist.

Das würd ich gern noch vestehen...

12.01.2008, 13:28

tmo

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kennst du die ableitung von ln(x)?

damit ergibt sich nämlich insbesondere für ln'(1):

$\begin{eqnarray*} 1 = \lim_{n \to \infty} \frac{ln(1+\frac{1}{n})-ln(1)}{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

13.01.2008, 00:13

Chris2005

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Zitat:

Original von PimpWizkid
Da hast du schon recht, das kann mich sich so erklären. Aber deswegen versteh ich immer noch nicht, warum
$\begin{eqnarray*} \lim \biggl(1+ \frac{1}{n} \biggr)^{n}=e \end{eqnarray*}$
ist.

Das würd ich gern noch vestehen...

ist definition, gibts nix zu verstehen Augenzwinkern

siehe dazu auch Eulersche Zahl

14.01.2008, 19:21

PimpWizkid

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Ok, dann muss ich das wohl so akzeptieren *grins* Danke!

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