Produkt von Erwartungswerten

05.06.2005, 12:40

Gast0

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Produkt von Erwartungswerten

Hallo,

Es gilt ja für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \end{eqnarray*}$
Wie kann ich das (erstmal nur für diskrete Zufallsvariablen) herleiten oder beweisen? Habe im Web nirgendwo einen Hinweis gefunden.
Mein Ansatz wäre gewesen, zu überprüfen, wann die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_i a_i b_i p(i) = \sum_i a_i p(i) \cdot \sum_i b_i p(i) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist; da komme ich allerdings auch nicht weiter...

05.06.2005, 12:42

Anirahtak

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Hallo,
kennst du die Größe, die sich Kovarianz nennt, und wie sie berechnet wird?

Gruß
Anirahtak

EDIT: Ich meinte Kovarianz, nicht Korrelation!

05.06.2005, 12:54

Gast0

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Nein, die kenne ich leider nicht

05.06.2005, 16:27

Anirahtak

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Hallo,

wenn X und Y unabhängig sind, dann gilt doch Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).

Hiermit solltest du zum Ergebnis kommen. Falls nicht, dann melde dich noch mal.

Gruß
Anirahtak

05.06.2005, 16:34

Gast0

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Naja, aber zumindest bei dem mir bekannten Beweis von Varx+y=varx+vary benutzt man schon die regel(n) für erwartungswerte, also würde ich damit das gesetz durch sich selbst beweisen (oder gibt es eine andere möglichkeit, diese regel für varianzen nachzuweise als über den verschiebungssatz?)

05.06.2005, 16:40

Anirahtak

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Ja, das ist richtig, dass man Regeln für Erwartungswerte benutzt, aber nicht die, die du beweisen sollst. Sie hier:
http://www.matheboard.de/thread.php?thre...rschiebungssatz

Für den Verschiebungssatz ist es doch völlig irrelevant ob die ZVen abhängig oder nicht sind.
Es gibt also überhaupt kein Problem es so zu beweisen.

Gruß
Anirahtak

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05.06.2005, 16:41

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Ok, betrachten wir das ganze mal für diskrete Zufallsgrößen, mit folgenden Vereinbarungen:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann n Werte $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ annehmen, und
$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ kann m Werte $\begin{eqnarray*} y_1,\ldots,y_m \end{eqnarray*}$ annehmen.

Dann gilt stets

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(XY)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m x_i y_j P(X=x_i,Y=y_j) \end{eqnarray*}$ ,

auch für abhängige Zufallsgrößen X,Y. Sind sie allerdings unabhängig, dann kann man die Wahrscheinlichkeit gemäß

$\begin{eqnarray*} P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) \end{eqnarray*}$

zerlegen. Und damit gelingt dann auch die Zerlegung der obigen Doppelsumme als Produkt zweier getrennter Summen über i und j.

05.06.2005, 17:58

Gast0

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@ Anihtarak : Stimmt, da hatte ich mich vertan Hammer

Hammer

@ Arthur Dent : Ja, das war die Form, mit der ich das zeigen wollte smile

smile

Danke euch beiden, das war sehr hilfreich

05.06.2005, 18:04

Gast0

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Nochmal zum Satz varx+y=varx+vary :
Wenn ich auf $\begin{eqnarray*} Var(X+Y) \end{eqnarray*}$ den Verschiebungssatz anwende, habe ich $\begin{eqnarray*} E((X+Y)^2)-E^2(X+Y) \end{eqnarray*}$
Wenn ich das in die Form $\begin{eqnarray*} E(X^2)+E(Y^2)-(E(X))^2-(E(Y))^2 \end{eqnarray*}$ bringen will , brauche ich allerdings schon die Regel für das Produkt von Erwartungswerten verwirrt

verwirrt

05.06.2005, 18:10

Leopold

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Genau. Aber die ist ja inzwischen bewiesen.

05.06.2005, 19:03

Anirahtak

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Zitat:

Original von Gast0
Nochmal zum Satz varx+y=varx+vary :
Wenn ich auf $\begin{eqnarray*} Var(X+Y) \end{eqnarray*}$ den Verschiebungssatz anwende, habe ich $\begin{eqnarray*} E((X+Y)^2)-E^2(X+Y) \end{eqnarray*}$
Wenn ich das in die Form $\begin{eqnarray*} E(X^2)+E(Y^2)-(E(X))^2-(E(Y))^2 \end{eqnarray*}$ bringen will , brauche ich allerdings schon die Regel für das Produkt von Erwartungswerten verwirrt

verwirrt

Aber das willst du doch gar nicht...

Wir sind uns einige dass, wir den Verschiebungssatz verwenden dürfen, ohne eben die zu beweisende Aussage zu benutzen, oder?

Dann gilt doch:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2+\mathbb{E}(Y^2)-(\mathbb{E}(Y))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{E}((X+Y)^2)-(\mathbb{E}(X+Y))^2=\mathbb{E}(X^2+2XY+Y^2)-(\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y))^2=\\ =\mathbb{E}(X^2)+2\mathbb{E}(XY)+\mathbb{E}(Y^2)- (\mathbb{E}(X))^2-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)-(\mathbb{E}(Y))^2 \end{eqnarray*}$

Wegen der Unabhängigkeit sind beide Zeilen gleich und die meisten Terme fallen weg.

Der Nachteil dieser Argumentation ist, dass Aussage auch gilt für ZVen, die keine Varianz besitzen... - also ist deine und Arthurs Variante vorzuziehen.

Gruß
Anirahtak

05.06.2005, 19:49

Gast0

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Zitat:

Original von Anirahtak
$\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{E}((X+Y)^2)-(\mathbb{E}(X+Y))^2=\mathbb{E}(X^2+2XY+Y^2)-(\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y))^2=\\ =\mathbb{E}(X^2)+2\mathbb{E}(XY)+\mathbb{E}(Y^2)- (\mathbb{E}(X))^2-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)-(\mathbb{E}(Y))^2 \end{eqnarray*}$

Aber diesen Term $\begin{eqnarray*} 2\mathbb{E}(XY) \end{eqnarray*}$ kann man doch ohne den obigen Satz für Erwartungswerte zu benutzen, nicht auseinander ziehen (und gleich $\begin{eqnarray*} 2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{eqnarray*}$ setzen) oder?

05.06.2005, 20:01

Anirahtak

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Hallo Gast0,

weil V(X+Y)=V(X)+V(Y) ist, kann ich doch auch dir rechten Seiten der Gleichungen gleichsetzen und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2+\mathbb{E}(Y^2)-(\mathbb{E}(Y))^2=\mathbb{E}(X^2)+2\mathbb{E}(XY)+\mathbb{E}(Y^2)- (\mathbb{E}(X))^2-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)-(\mathbb{E}(Y))^2 \end{eqnarray*}$

Alle Summanden der linken Seite heben stehen auch auf der rechten Seite, sie heben sich also auf und stehen bleibt:

$\begin{eqnarray*} 0=2\mathbb{E}(XY)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{eqnarray*}$

Und das ist doch die zu beweisende Behauptung.

Ich verwende also die Aussage nicht!
Konnte ich dich jetzt überzeugen?

Gruß
Anirahtak

05.06.2005, 20:17

Gast0

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Zitat:

Original von Anirahtak
$\begin{eqnarray*} 0=2\mathbb{E}(XY)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{eqnarray*}$

Und das ist doch die zu beweisende Behauptung.

Das meinte ich ja smile

smile

Und diese Behauptung ist gleichbedeutend mit der Regel für Produkte von Erwartungswerten. Der Beweis von varx+y=varx+vary ist also nur in dieser Weise führbar, wenn vorausgesetzt wird, dass exy=exey für unabhängige x und y gilt und kann also - zumindest war das mein gedanke - nicht benutzt werden, um eben diesen Satz für Erwartungswerte zu beweisen (was aber glücklicherweise mit Arthur Dent's Methode gelingt)

05.06.2005, 22:06

Anirahtak

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Hallo,

damit ist die Behauptung doch bewiesen.
Ich habe doch gezeigt:
Wenn die ZVn X und Y ungabhängig sind, dann muss E(X)E(Y)=E(XY) gelten.
Ich zeige:

X und Y unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ V(X+Y)=V(X)+V(Y) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ E(XY)=E(X)E(Y)

Es folgt doch aus meiner Argumentation! Es ist nicht die Voraussetzung sondern die Folgerung!

Gruß
Anirahtak

05.06.2005, 22:36

Gast0

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Zitat:

Original von Anirahtak
X und Y unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Das ist mir gerade der problematische Schritt. Dass aus V(X+Y) = V(X)+V(Y) => E(XY) = E(X)E(Y) folgt, ist klar. Vielleicht missverstehe ich dich aber auch verwirrt

verwirrt

Zitat:

Aus einem der obigen Posts
Wegen der Unabhängigkeit sind beide Zeilen gleich

Könntest du nochmal genauer erläutern, warum das aus der Unabhängigkeit folgt (bzw. sagen wie du das beweist)?

06.06.2005, 20:35

Anirahtak

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Hallo,

jetzt erst verstehe ich deinen Einwand. Ich glaub er ist berechtigt. Entschuldigung. Werde noch mal darüber nachdenken.

Gruß
Anirahtak

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