Bijektion und Eigenwerte

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Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion und Eigenwerte
Hallo Leute!!!

Eine neue Woche, eine neue unlösbare Aufgabe...
Da ich immer schon ganz gern anfange, bevor ich Donnerstag in meiner Vorlesung erfahre was ich eigentlich machen muss, hoffe ich auf eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Für eine Bijektion von bestimme man alle Eigenwerte des durch (,..., = ,..., definierten Endomorphismus von .

Also um ehrlich zu sein überfordert mich mal wieder schon die Aufgabenstellung. Würde gern bereits einen Ansatz schreiben, aber ich weiß echt nicht wo ich anfangen soll.
Vielleicht kann mir ja mal jemand die Aufgabe mit anderen Worten erklären, damit ich einen Anfang finde.

DANKE!!!
Krümel

EDIT: Latex verbessert. Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte editieren: Auf sowas reagiert LaTeX allergisch:

code:
1:
[latex]x_{\pin}[/latex]

Lieber mehr Leerzeichen einfügen als zuwenig:

code:
1:
[latex]x_{\pi n}[/latex]
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektion und Eigenwerte
Soah zweiter Versuch die Aufgabe leserlich darzustellen:

Für eine Bijektion von bestimme man alle Eigenwerte des durch = definierten Endomorphismus von

PS: die 1 und 2 in Klammern auch tiefer gestellt!
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektion und Eigenwerte
Halli Hallo...
Bin leider noch immer nicht weiter mit dieser Aufgabe und hoffe auf eure Hilfe.
Hab mich jetzt mal im Netz schlau gemacht, aber wirklich fündig geworden bin ich da auch nicht. Nur schon mal so ne Frage am Rande kann man sagen Bijektion=Permutation ???

Das Krümel
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nur schon mal so ne Frage am Rande kann man sagen Bijektion=Permutation ???

für eine bijektion von einer endlichen menge in sich selbst kannst du das ohen weiteres sagen, ja
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sei ein Eigenvektor zum Eigenwert . Es gilt daher nach Definition von :



Es können nicht alle Null sein, denn ein Eigenvektor ist niemals der Nullvektor. Nehmen wir also ein mit . zerfällt in disjunkte Zykeln. Die Länge des Zykels, dem angehört, sei :



Jetzt gilt nach






Und nun beginne mit der letzten Gleichung und setze auf der rechten Seite den Term aus der Vorgängergleichung ein usw., bis sich der Kreis schließt.
 
 
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, auch wenn ich das vielleicht schon wissen sollte, ich hab um ehrlich zu sein keinen Plan was Zerfall in disjunkte Zykeln bedeutet.

Bin zwar der Meinung, dass ich das wie du gesagt hast fortführen kann, aber weiß ich dann gar nicht was ich da wirklich tue.
Wäre über eine kleine Erläuterung sehr dankbar...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich brauchst du nur, daß, wenn man auf ein anwendet und auf das Ergebnis dann wieder usw., man irgendwann wieder einmal bei ankommt. Und die Werte, die bei diesem Prozeß auftreten, bilden den Zykel, der enthält. Im Extremfall ist die Länge des Zykels 1 (wenn nämlich durch auf sich selbst abgebildet wird) oder im anderen Extremfall . Überlege selbst an einfachen Beispielen, warum das so sein muß.
Überfordert Auf diesen Beitrag antworten »

Hy!
Sorry, auch wenn hier schon ne Menge zu dieser Aufgabe steht, ich bin immer noch total überfordert.
Was sagt mir denn das ganze überhaupt?
Kann mit der Aufgabe irgendwie nicht arbeiten, da ich nicht weiß was das überhaupt gesamt gesehen bedeutet.
Vorallem kann ich das nicht mit unseren vorherigen Aufgaben in Beziehung bringen (Jordan-Normalform).
Vielleicht noch mal jemand Zeit und Lust etwas umfassender diese Aufgabe zu erklären???
MfG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ein Beispiel: ; vertauscht die Koordinaten, z.B.

Konkret:

Um die Abbildungsmatrix zu finden, muß man die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren bestimmen:







Nach Übergang zur Spaltenschreibweise kann man das mit Hilfe der Permutationsmatrix und dem Vektor



so schreiben:



Und jetzt kannst du einmal die Eigenwerte von bestimmen. Die Überlegungen meiner vorigen Beiträge erklären, warum nur diese Eigenwerte möglich sind.
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