Jordanzerlegung von Endomorphismen

06.06.2005, 09:37	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordanzerlegung von Endomorphismen Hallo zusammen, ich hoffe alle haben das Wochenende gut überstanden, denn ich habe mal wieder eine Frage: Wir haben einen algebraisch abgeschlossenen Körper K, dazu noch einen n-dimensionalen K-Vektorraum V, einen Endomorphismus $\begin{eqnarray} T: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_1, ..., \lambda_k \end{eqnarray}$ verschiedene Eigenwerte von T. Dazu wissen wir noch, dass wir jeden Vektor $\begin{eqnarray} x \in V \end{eqnarray}$ als (eindeutige) Linearkombination von Vektoren aus den verallgemeinerten Eigenräumen schreiben können. Das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} x = x_1 + x_2 + ... x_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i \in V_{\lambda_i}(T) \end{eqnarray}$ (hier ist V der verallgemeinerte Eigenraum, habe leider kein entsprechendes Symbol gefunden). Jetzt definieren wir uns noch zusätzlich $\begin{eqnarray} D: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ duch $\begin{eqnarray} D(x) = \sum_{i=1}^{k}{\lambda_i x_i} \end{eqnarray}$ mit der obigen Zerlegung von x. Weiter definieren wir $\begin{eqnarray} N: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ als N = T - D. Nun ist zu zeigen, dass D diagonalisierbar, N nilpotent und $\begin{eqnarray} N ° D = D ° N \end{eqnarray}$ (° steht für Verknüpfung; ich glaube, ich brauch hier einen gescheiten Tex-Editor...) Jetzt brauche ich Ansätze, um die Aufgabe lösen zu können. Danke im Voraus, Stefan

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