partielle numerische Differentiation

08.06.2005, 11:39

RobR

partielle numerische Differentiation

Ich möchte eine n-dimensionale Funktion numerisch differenzieren.

Ich habe bisher nur die Regel für den eindimensionalen Fall gefunden:

$\begin{eqnarray*} f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Für den zweidimensionalen Fall habe ich angenommen:

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x,y)\approx \frac{f(x+h,1)-f(x,1)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(x,y)\approx \frac{f(1,y+h)-f(1,y)}{h} \end{eqnarray*}$

ich habe also jeweils die Variable, nach der nicht differentiert wird konstant 1 gesetzt.

Leider stimmen meine Werte nicht mal annäherungsweise auch bei sehr kleinem h mit den Ergebnissen einer analytisch gewonnen Ableitung überein...

Ist mein prinzip richtig?

MfG Rob

also für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$ funktioniert mein Ansatz.
Für komplexere Funktionen (zB Himmelblau Funktion) jedoch nicht:
in manchen Punkten unterscheiden sich numerischer und analytischer Gradienten so stark, dass der numerische Gradient sogar in Richtung einer in Wirklichkeit negativen Steigung zeigt unglücklich

09.06.2005, 10:41

RobR

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keiner eine idee, woran das liegen könnte?

ich würde es vielleicht damit erklären, dass ich nach genannter methode die ableitung linear annähere und das klappt für quadratische funktionen vielleicht noch ganz gut die Himmelblau Funktion beispielsweise ist jedoch von Grad 4.

könnte ich meine Funktion irgendwie numerisch Approximieren? vielleicht ein quadratisches Modell erstellen, was ich dann auf obrigen wege differenziere um ein besseres ergebnis zu erlangen.
Analytische differtiation ist nicht möglich (mir fällt TAYLOR ein, aber da brauchte man ja ne ableitung in einem punkt, wenn ich mich recht erinnere.)

09.06.2005, 10:51

jovi

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Zitat:

ich habe also jeweils die Variable, nach der nicht differentiert wird konstant 1 gesetzt.

Wiso das denn. Dann müsstest du auch jeweils die part. Ableitungen bei y=1 bzw x=1 berechnet haben.
Dein Ansatz sollte auch schon scheitern für:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^{2}+y^{2} +xy \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \end{eqnarray*}$

09.06.2005, 11:46

RobR

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jo, iss mir jetzt auch klar geworden...

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x,y)\approx \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(x,y)\approx \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} \end{eqnarray*}$

funktioniert.

Ich hab das mit der konstanten irgendwie angenommen, da man beim partiellen ableiten "per hand" ja auch die jeweils anderen Variablen als konstanten betrachtet und dann nach den herkömmlichen regeln differenziert.
hab das fälschlicherweise übertragen.

also thx @ jovi Freude

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