Jordan Basis

08.06.2005, 14:10

Krümel

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Jordan Basis

Halli Hallo!!!

Also über die Jordan-Normalform hab ich nun schon ne Menge gelernt, aber wie man eine Jordan-Basis ermittelt, weiß ich leider noch nicht.
Entsprechend wäre ich froh, wenn mir jemand bei der folgenden Aufgabe hilft:

Für den Endomorphismus $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} C^5 \end{eqnarray*}$ mit A = $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & i & 0 & -1+i \\ 0 & 2 & 1 & 0 & i \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ermittle man eine Jordan Basis.

Folgendes hab ich schon gemacht: Die Eigenwerte ausgerechnet: alle Lambda = 2, den Eigenraum ausgerechnet = dim 2 und die Jordansche Normalform aufgestellt. Weiß zwar nicht ob ich das alles brauche, aber das kann ich wenigstens.

Da ich ja einen 3x3 und einen 2x2 Block habe, vermute ich mal, dass ich mit diesen weiterrechnen muss, nur WIE???

08.06.2005, 22:54

Polly

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Hallo
Allso ich hab bei den Eigenwerten nicht überall 2 raus, sonder 2mal=2 also (x-2)² und 3mal=-2 also (x+2)³. Weiß aber auch, dass das ja ne Dreiecksmatrix ist und die Eigenwerte ja alle auf der Diagonalen stehen müssten, allerdings komme ich beim ausrechnen irgendwie auf meine Ergenbnisse und nicht auf 5mal =2.
Beim Eigenraum für 2 habe ich aber auch zweidimensional raus und beim Eigenraum für -2 hab ich dann raus, dass keine der fünf Variablen frei wählbar ist, womit ich auch nichts anzufangen weiß.
Könnte mir mal einer sagen, was einem solche Ergebnisse sagen?
Ich werde das auch nochmal alles rechnen, aber ich weiß nicht, was ich da falsch gemacht habe.

08.06.2005, 23:50

JochenX

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auch (A-Ix) ist eine diagonalmatrix; determinante davon ist dann ads produkt der diagonalelemente

damit char pol = det(A-Ix)=(x-2)^5
was immer du gerechnet hast

mfg jochen

09.06.2005, 07:09

Krümel

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O.k. damit sind meine EW ja schon mal bestätigt.
Vielleicht noch nen Tip wie es jetzt weiter geht?
MfG

09.06.2005, 21:45

Polly

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Hallo.
Ich würde gerne nochmal wissen, warum man, wenn man das Polynom (x-2)^5 ausmultipliziert, nicht das rausbekommt, was es eigentlich sein müsste, also $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =2 mit Vielfachheit 5. Aber das nur nebenbei.
Ich habe jetzt für die Jordan Basis zwar vier Vektoren berechenen können, also einmal die beiden Vektoren aus dem Eigenraum also
V1( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )=s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann noch zwei Vektoren die ich aus dem ersten Vektor berechnet habe, mit (A- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ En)y=x. Für x habe ich dann den ersten Vektor eingesetzt und dann hab ich raus
V2( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )=r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + u $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Sieht ja auch alles ganz gut aus, nur weiß ich nun nicht, wie ich weitermachen soll, denn ich bekomme, egal wie ich rechne, schon alleine durch die Matrix immer zwei unabhängige, also immer zwei Vektoren, aber ich brauch ja nur noch einen. Vorausgesetzt das was ich bis jetzt gerechnet habe stimmt.
Wie mach ich das denn jetzt?

12.06.2005, 09:08

Kleiner Gast

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Dringend
Guten morgen!!!
Auch ich verbringe mein WE mit dieser blöden Aufgabe.
Die Jordan-Basen habe ich mittlerweile schon sonst wie oft bestimmt und habe nun ein Ergebnis beim dem ich hoffe, dass es richtig ist.
Meine Bitte wäre nun, ob das mal jemand mit der Formel TAT hoch -1 (hoffe ihr wisst was ich meine, denn irgendwie wollt mir das der Formeleditor nicht umwandeln) prüfen könnte, also mich interessiert dann nur das Ergebnis, denn wenns meine Jordan-Normalform ist, dann ist es ja richtig.
Mir ist schon klar, dass ihr euch bestimmt nicht hinsetzt und das rechnet, aber vielleicht hat da ja jemand ein Programm, was ich nicht habe!!! Wäre echt super lieb wenn das jemand machen könnte bzw. wenn noch jemand diese Aufgabe rechnet mir sagt, ob er das selbe hat.
Also hier meine Jordan-Basen bereits in der Matrix zusammengestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -i & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

VIELEN DANK!!!

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12.06.2005, 13:59

JochenX

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na komm, das kannst auch selbst rechnen....
eine dreiecksmatrix mit so vielen 0ern invertiert sich doch recht schnell, danach ein wenig matrizenmultiplikation!

geht sicher schnell als auf die computerfreaks zu hoffen.....

mfg jochen

Zitat:

Ich würde gerne nochmal wissen, warum man, wenn man das Polynom (x-2)^5 ausmultipliziert, nicht das rausbekommt, was es eigentlich sein müsste, also $\begin{eqnarray*} \lambda =2 \end{eqnarray*}$ mit Vielfachheit 5.

aber genau das komtm raus, es KANN nix anderes rauskommen....
f(x)=(x-2)^5 hat als nullstellen einfach 5fach die 2.......

12.06.2005, 14:19

Lamalambra

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Hey also ich habe da auch ein kleines Problem, wenn ich nämlich die Inverse ausrechne, dann komme ich auf eine Einheitsmatrix und das kann doch nicht sein, weiß aber absolut nicht wo mein Fehler liegt...
Vielleicht kann mir jemand helfen

12.06.2005, 14:21

JochenX

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ja, das ist falsch, die inverse kann man ja fast im kopf ausrechnen.....
mit was für einem algorithmus bist du rangegangen?

mfg jochen [der jetzt essen geht]

12.06.2005, 15:08

Lamalambra

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Also hier ist erstmal meine Matrix T, ist auch ne andere, als oben genannt:
T= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -i & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Soah, also, erstmal, es tut mir ja schrecklich Leid, aber ich seh das nicht so und kann es auch nicht so im Kopf ausrechnen mit der Inversen und ich habe es gerade schon mit jemanden noch mal versucht und wir kommen immer auf die Einheitsmatrix... Könntest du uns vielleicht erklären, wie man es sehen kann, dann wissen wir vielleicht auch wo unser Fehler liegt..

12.06.2005, 15:41

JochenX

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NUR ZUR INVERTIERUNG:

wende folgenden algorithmus an:
(A|I) mit I einheitsmatrix; mache nun A mit Gauß selbst zur einheitmatrix und wende die selben schritte auh auf I an

am ende hast du dann auf beiden seiten A^-1 anmultipliziert: (I | A^-1)

mfg jochen

12.06.2005, 16:35

Lamalambra

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Soah habe jetzt eine Inverse rausbekommen:
T^-1= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt die so?

12.06.2005, 16:40

JochenX

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ist heute tag der faulheit ausgebrochen?
einfach deine matrix mal obige matrix nehmen, sollte I ergeben.
spinnt aber noch nicht....

12.06.2005, 17:28

Lamalambra

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Ja, habe ich gerade auch gemerkt, dass das nicht aufgeht, stimmt denn die Vermutung, dass das im letzten Vektor meiner Inversen, an der zweiten und dritten Stelle ein Fehler ist?

PS: Tag der Faulheit, alles klar, hänge hier nur schon den ganzen Tag über dieser Aufgabe...

Versuche die Inverse anders zu berechnen und zwar in dem ich die adjungierte von T durch die Determinante von T rechne, so wurde es uns jedenfalls beigebracht...

12.06.2005, 17:54

JochenX

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halli hallo, den tag der faulheit nit so enst nehmen, war nit böse gemeint smile

smile

ja, genau an diesen stellen hast du noch fehler...........

dein verfahren eignet sich für 2x2-matrizen und kann bei 3x3 matrizen noch ganz gut angewendet werden, bei größeren matrizen empfehle ich es dir nicht.
hier müsstets du prinzipiell 25 4x4-determinanten bestimmen :-\

mein verfahren geht hier bedeutend schneller..... und ist in 5 oder 6 schritten oder so beendet.

12.06.2005, 20:02

Lamalambra

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Ok, habe jetzt wieder was neues *g

T= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & i & 0 & -(i+1)/i \\ 0 & 0 & 1 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

12.06.2005, 20:46

JochenX

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joa, also der bruch kann noch zu i-1 gekürzt werden sieht dann besser aus; aber so stimmts das ist deine inverse

12.06.2005, 23:47

linchen

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wie kommt ihr denn auf T? kann man das nicht berechnen indem man den eigenraum und die verallgemeinerten eigenäume berechnet, und dann anhand des minimalpolynoms sieht wie lange das längste kästchen ist und so weiter?.....also ohne die inverse?

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