"Linsengleichung"

08.06.2005, 20:11

Fele

"Linsengleichung"

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f} \end{eqnarray*}$

Ich brauche die Antwort, wie man auf diese Gleichung anhand der folgenden Zeichnung kommt:

http://www.alluwant.de/mitglieder/26563/bilder/mathe.jpg

Cheerio, Fele.

08.06.2005, 20:57

JochenX

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und ich brauche auch und zwar.....

musterlösungen gibt es hier keine, was hast du dir denn schon überlegt?

08.06.2005, 21:10

Fele

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Es hieß, dass wir zwei Gleichungen brauchen, die dann mit einander verknüpft
werden. Also wir sollen die Strahlensätze anwenden. Ich bin mir ziemlich sicher,
dass die erste Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{g}=\frac{b}{h} \end{eqnarray*}$
ist. Mehr weiß ich nicht. Reicht dir das?

Cheerio, Fele.

08.06.2005, 21:26

etzwane

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Der Strahlensatz stimmt so, und jetzt markier dir einmal die entsprechenden Strecken a,g,b, und h, damit du den Strahlensatz verstehst.

Hast du das?

Und jetzt wende den Strahlensatz an auf den Strahl, der durch den Brennpunkt F geht, auch mit g und h, aber mit f und b-f.

08.06.2005, 21:48

Fele

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Man erkennt das wegradierte. Also die beiden Gleichungen sind:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{g}=\frac{b}{h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{g}{f}=\frac{h}{b-f} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Wenn ja, wie kann man die Gleichungen verknüpfen?

Cheerio, Fele.

08.06.2005, 21:57

etzwane

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Zitat:

Original von Fele
Man erkennt das wegradierte.

Was für ein Glück .....

Jetzt bringe beide Gleichungen auf die Form g/h = ...... , dann kannst du die rechten Seiten gleichsetzen und umformen, bis du die gesuchte Gleichung erhältst.

EDIT: Schreibfehler korrigiert

08.06.2005, 21:58

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Das stimmt. Und jetzt stelle die erste Gleichung nach g (oder nach h, wie du willst) um und setze das Ergebnis in die zweite Gleichung ein. Dann nach f, oder besser gesagt 1/f umformen.

08.06.2005, 22:03

Fele

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Ich versuch's und melde mich morgen, ob's geklappt hat.

Cheerio, Fele.

09.06.2005, 17:57

Fele

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Ich habe die beiden Gleichungen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} g=\frac{a*h}{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=\frac{h*f}{b-f} \end{eqnarray*}$

Richtig, ja!? Und wenn ich die Gleichungen verknüpfe erhalte ich das:

$\begin{eqnarray*} \frac{a*h}{b}=\frac{h*f}{b-f} \end{eqnarray*}$

Und jetzt nach f bzw. 1/f umformen?

Wenn ich nach 1/f auflöse erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{f}=\frac{a}{b*f+2f-b} \end{eqnarray*}$
... und das kann ja nicht stimmen ...
Könnt ihr mir mal bitte endlich helfen?

Cheerio, Fele.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

09.06.2005, 22:55

etzwane

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Zitat:

Original von Fele
Richtig, ja!? Und wenn ich die Gleichungen verknüpfe erhalte ich das:

$\begin{eqnarray*} \frac{a*h}{b}=\frac{h*f}{b-f} \end{eqnarray*}$

Sieht doch gut aus, jetzt auf beiden Seiten durch h teilen, dann auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen, dann rechts den Bruch auflösen, dann beide Seiten durch b teilen, und dann umsortieren

10.06.2005, 14:33

Fele

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Ich versuch's! Danke!

Cheerio, Fele

Nach dem Teilen durch h und der Bildung des Kehrwerts erhalte ich
das:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}*\frac{b}{a}=\frac{f}{b-f}*\frac{b-f}{f} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Cheerio, Fele

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

10.06.2005, 15:42

etzwane

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Falsch verstanden !

Nicht mit dem Kehrwert multiplizieren, sondern einfach den Kehrwert rechts und links hinschreiben, usw., siehe oben.

10.06.2005, 15:44

Fele

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Aha. Und kannst du mir das bitte mal begründen?

Cheerio, Fele

10.06.2005, 16:36

Poff

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a = b, (a,b ungleich 0)

dann ist

1/a = 1/b

setzt nun für a=u/v und für b=x/y (u/v und x/y ungleich Null)

u/v = x/y

1/(u/v) = 1/(x/y)

v/u = y/x

.

a*h/b = f*h/(b-f)
a/b = f/(b-f)

b/a = (b-f)/f
...

10.06.2005, 17:03

Fele

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SO weit bin ich auch schon! -_- Ich komm genau an dieser Stelle nicht weiter
...

Cheerio, Fele

10.06.2005, 17:18

etzwane

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dann löse mal auf der rechten Seite den Bruch auf, mach also 2 Brüche davon mit einem Minus dazwischen

10.06.2005, 17:54

Fele

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Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{f}=\frac{a+b}{a*b} \end{eqnarray*}$

Aber das ist nicht das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f} \end{eqnarray*}$

Oder?

Cheerio, Fele

Ich weiß jetzt, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{a*b}=\frac{1}{f} \end{eqnarray*}$

das selbe ist wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f} \end{eqnarray*}$

Mein letztes Problem ist jetzt: Warum ist das so? Ich bitte um eure Hilfe. Und ich würde auch noch gern wissen, warum ich bei einem Schritt den Reziproken bilden muss!

Danke im voraus und cheerio, Fele

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

10.06.2005, 18:53

etzwane

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Versuchen wir es.

Wir gehen also aus von $\begin{eqnarray*} \frac{a*h}{b}=\frac{h*f}{b-f} \end{eqnarray*}$ und erhalten, wenn mir auf beiden Seiten durch h teilen:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=\frac{f}{b-f} \end{eqnarray*}$ , wie schon bekannt.

Diese Gleichung müssen wir jetzt so umformen, dass wir 1/f auf einer Seite erhalten.

Wir teilen also zuerst beide Seiten durch f und erhalten:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{bf}=\frac{1}{b-f} \end{eqnarray*}$

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit b-f und erhalten:
$\begin{eqnarray*} \frac{a(b-f)}{bf}=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt teilen wir beide Seiten durch a:
$\begin{eqnarray*} \frac{b-f}{bf}=\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Und jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit b:
$\begin{eqnarray*} \frac{b-f}{f}=\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt genau hinsiehst, erkennst du, das wir in Einzelschritten genau das gleiche Ergebnis erhalten haben, wie man durch Bildung des Kehrwertes erhält.

Oder mal mit Zahlen:
Das ist eine Gleichung mit Brüchen: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}=\frac{4}{6} \end{eqnarray*}$
Jetzt davon den Kehrwert, ergibt wieder eine Gleichung: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}=\frac{6}{4} \end{eqnarray*}$

10.06.2005, 19:03

Fele

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Also könnte ich es theoretisch damit begründen, dass ich den Kehrwert benutze, damit ich die Gleichung leichter umformen kann!?

Und wie komme ich nun von $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{a*b}=\frac{1}{f} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f} \end{eqnarray*}$ ?

Cheerio, Fele

10.06.2005, 19:13

etzwane

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Ja, wenn du die Einzelschritte verstanden hast, die zum Kehrwert führen, damit du es immer zeigen kannst.

Teile mal den linken Bruch auf in zwei Teile mit einem Plus dazwischen und kürze die Brüche.

10.06.2005, 19:29

Fele

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Okay, mache ich. Vielen Dank für deine Hilfe, war richtig nett von dir!

Cheerio, Fele

Also dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a}+\frac{b}{b} \end{eqnarray*}$ , oder? Aber
irgendwie gibt's da nichts zu kürzen!?

Cheerio, Fele

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

10.06.2005, 20:10

etzwane

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Du erhältst $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a*b}+\frac{b}{a*b} \end{eqnarray*}$ , und jetzt kürzen

10.06.2005, 20:30

Fele

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OMG. -_-
Stimmt ja. Ist mir entfallen, sorry. So, dann hätte ich alles. Vielen Danke.

Cheerio, Fele

BTW: Thread kann geschlossen werden!

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