Betragsungleichungen

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Gast 21 Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichungen
Also mein Problem liegt bei folgender Aufgabe

Lösen Sie die Gleichungen (in R) nach x auf:

|x-1| - 2|x-2| + 3|x-3| = 4

Folgendes ist aufgetreten:
Nach der Intervallschachtelung ergeben sich 4 Intervalle
1. x<1
2. 1<x<2
3.2<x<3
4. x>3

schon bei der 1. schachtelung bekomme ich für x den wert 1/3 heraus der ja definiert ist, aber bei durchführen der probe nicht mit der ausgangsgleichung übereinstimmt.
Wo könnte mein Fehler liegen ich komm einfach nicht drauf?
Danke schon mal für die HIlfe
Gast 21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte nur bescheid sagen das ich es selbst herausgefunden hab,
hab den Vorzeichenwechsel bei - vor der klammer missachtet, trotzdem danke für die die sich schon mit beschäftigt haben
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Bei solchen Aufgaben verschafft man sich möglichst einen graphischen Überblick:
Gast 21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi danke für den Tip, aber irgendwie weiß ich nicht immer welche Werte ich bei der Intervallschachtelung nehmen soll, eben bei dem Beispiel war das ja ziemlich klar, aber an dem hier verzweifel ich nun schon den ganzen nachmittag:

|x² - 3 |x| +1| =1

Also wenn ich brüche habe, setze ich den nenner glecih null und den zähler gleich null daraus folgt ja meine Einteilung zur Intervallschachtelung, oder? aber hier weiß ich jetzt nicht so ganz welche ich nehmen soll, es klappt einfach nicht, vielleicht liegt es aber auch daran das ich nicht genau weiß wie ich mit "Beträgen von Beträgen" umgehen soll.
Hab schon an eine fallunterscheidung gedacht, also
für neg x-Werte x²+3x+1 und für pos. eben x"-3x+1 aber das funktioniert auch nicht, wenn ich die Probe mache.
Wäre sehr dankbar falls mich jemand von dem Wirrwarr in meinem Kopf befreit. Thanks
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich denn die Gleichung richtig gelesen habe ...

Gast 21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, ich rechne das nochmal durch und sag dir dann bescheid wies geklappt hat, auf jeden Fall ganz dickes danke
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Graph von etzwane zeigt schön, dass der hiesige Funktionsplotter auch seine numerischen Grenzen hat: Die Nullstelle 0 zeigt er nicht an. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

.
Gast 21 Auf diesen Beitrag antworten »

hi Leutz,
ich bin euch sehr dankbar für die HIlfe, aber ich krieg trotzdem keine Ergebnisse raus, da ja zum Beispiel der Raum zwischen -3 und -2 eigentlich negativ ist, aber für -2,9 zum Beispiel positiv...
KOmm mit der Aufgabe einfach nicht klar und hab keine Ahnung wie ich sie rechnen soll.

Da wäre noch eine Frage, wenn ich jetzt nicht so ein schönes Programm habe um mir den Funktionsgraphen zeichnen zu lassen, wie kann ich herausfinden wie ich die Intervalle splitte?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Geplottet wurde die Funktion , du hast bei deinen vergeleichendne Betrachtungen zu 2.9 vermutlich nicht an das "-1" gedacht.

Zur rechnerischen Lösung:

Da auf beiden Seiten der Gleichung was garantiert Nichtnegatives steht, ist ein folgendes Quadrieren dieser Gleichung eine äquivalente Umformung. Man erhält und folglich dann auch

.

Dabei kam die binomische Formel a²-b²=(a-b)(a+b) zur Anwendung.

P.S.: Ist vielleicht nicht die didaktisch beste Lösung, aber dafür sehr effizient.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt wende das auf an. Und wenn du auch noch trickreich beachtest, kannst du mit der Substitution bequem rechnen.

EDIT
oder die Arthur-Variante
Gast 21 Auf diesen Beitrag antworten »

He danke, jetzt klappts auch, hab alles gelöst... *freu*

wobei ich das Verfahren von Arthur ehrlich gesagt bevorzugt hab...
also weiter so...
Tinkerbeline Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal eine kurze Frage zu der Umformung der Gleichung:
wie kommt man denn von (x²-3+2) zu der Umformung (-1)(-2)?
Klar, wenn man den hinteren Teil ausmultipliziert, dann kommt man auf den forderen Teil, aber welche Idee steckt denn da dahinter?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe Leopold: Mit Substitution z=|x| ist da die quadratische Gleichung z²-3z+2=0 zu lösen.

Daher meine Anmerkung "didaktisch nicht die beste Variante". Augenzwinkern
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