Existenz einer Basis

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Gajo Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer Basis
Hallöchen.
Also dies ist meine Aufgabe und ich bräuchte mal etwas Hilfe:

Sei f: R² -> R² eine lineare Abbildung, die verschieden von der Nullabbildung ist.
Weiter sei f ° f = 0. Zeigen Sie: Es existiert eine Basis B = {x1,x2} von R², so daß f(x1) = x2 und f(x2)=0 ist.

Wie geh ich an das ganze heran?
Für die Basis muss ich doch lineare Unabhängigkeit zeigen oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Basis
Was wissen wir?








Was können wir folgern (Dimensionssatz für l.Abb. zwischen endl. dim. VR)






Weißt Du warum das so sein muss?

Bitte mal in deinem Skript nachschlagen:

Basisergänzungssatz

Eigenschaften des Kern einer l. Abb.
Gajo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das macht soweit sinn.
aber trotzdem fehlt mir von hier der ansatz.
also soll ich die funktion f herausfinden?
und ein beispiel dafür geben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zeigen Sie: Es existiert eine Basis B = {x1,x2} von R², so daß f(x1) = x2 und f(x2)=0 ist.


Das sollst Du tun.
Gajo Auf diesen Beitrag antworten »

ja und da weiß ich ja gerade nicht wie ich da anfangen soll.
ich weiß dass ich das machen soll, aber wenn ich wüsste wie, würde ich ja nicht fragen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sagte ich schon
Zitat:
Original von tigerbine
Was wissen wir?








Was können wir folgern (Dimensionssatz für l.Abb. zwischen endl. dim. VR)






Weißt Du warum das so sein muss?

Bitte mal in deinem Skript nachschlagen:

Basisergänzungssatz

Eigenschaften des Kern einer l. Abb.


Wo ist da deine Antwort?
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wegen gibt es einen vektor mit .

nun mache dir klar, dass im Bild von f enthalten ist.
was folgt daraus?

edit: wobei, ich glaube es ist klüger wegen erst zu folgern, dass ein existiert mit
Gajo Auf diesen Beitrag antworten »

aso def(f)=dim(ker(f)) und ker(f) ist ja schonmal x2, da f(x2)=0 oder?
dim(1)=1, also somit ist def(f)=1.
ist das schonmal soweit richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ist das eine antwort auf tigerbines frage?

es wäre nämlich wirklich erst besser zu klären, warum das so ist. ich war da etwas zu voreilig. auf meinen tipp kannst du dann eingehen, nachdem du dir klar gemacht hast, warum gelten muss.

so ausdrücke wie dim(1)=1 machen keinen sinn, da 1 keine menge und schon gar nicht ein vektorraum ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Gegeben ist nur, dass es sich um eine von der Nullabbildung verschiedene nilpotente Lineare Abbildung handelt. Ob man daraus nun Defekt oder Rang zuerst folgert ist egal.

Aber es muss erst einmal begründet werden.
Gajo Auf diesen Beitrag antworten »

also das würde schon als antwort reichen, wenn ich das zeigen würde?
aber es ist doch schonmal richtig, dass ker(f)=x2 ist oder hab ich selbst das schon falsch gelesen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das würde nicht reichen. Aber das ist der Anfang. Und ja, x2 liegt im Kern.
Gajo Auf diesen Beitrag antworten »

dim(x2)=1
also ist def(f)=1.
stimmt das denn auch so?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Na dass der span eines einzelnen Vektors eindimensional ist, ist wohl nicht verwunderlich. Warum liegt denn nicht noch mehr im Kern?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nur mal zur Erinnerung. Die Existenz eines sochen x2 ist ZU ZEIGEN!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß (*duck*), aber niemand will meine schon am Anfang gestellte Frage beantworten...Vielleicht hört wer auf Dich. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist aber zunächst genau diese Frage zu beantworten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tränen Wenn halt endlich mal jemand drauf kommen würde, warum der Kern nicht die Dimension 2 haben kann... War da nicht was mit ungleich der Nullabbildung...Und warum kann er nun nicht die Dimension 0 haben... Wenn man nur wüßte, wie man diese Annahme mit f*f=0 widerlegen kann.

Aber ich hab hier ehrlich gesagt fast aufgegeben, Don Quichote zu spielen...
Gajo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es tut mir leid aber ich verstehe es einfach nicht.
also ich muss einmal rang(f)=1 zeigen, um herauszufinden, dass es ein f(x1) ungleich 0 gibt und dass des ein def(f)=1 gibt um herauszufinden, dass es ein f(x2)=0 gibt.

aber WIE?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn mein letzter Post nicht voll von Hinweisen ist, dann weiß ich es auch nicht. unglücklich Du hast nur gegeben:








Arbeite endlich damit. Ich formuliere einen Satz nun mal aus. Wir sind endlich dimensional, und wenn Du Dir mal die am Anfang von mir velinkten Sätze anschauen würdest, dann weist Du dass wir für den defekt 3 Möglichkeiten haben:

defekt(f) = 0 oder defekt(f) = 1 oder defekt(f) = 2

Nur eins davon stimmt. Führen wir einen Widerspruchsbeweis. Ich nehme an, es gilt: defekt(f)=2. Das bedeutet wegen (1), dass für alle gilt: f(x) = 0. Damit ist f die Nullabbildung. Widerspruch zu 2.

Nun argumertiere Du warum defekt(f)=0 nicht stimmen kann.
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