Faltungsintegral: Unstetigkeitsstelle in Funktion

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nofreak Auf diesen Beitrag antworten »
Faltungsintegral: Unstetigkeitsstelle in Funktion
Hallo,

ich habe ein kleines Problem mit einem Faltungsintegral, das als Lösung einer Differentialgleichung 2.Ordnung auftritt.
Eine der beiden Funktionen hat eine Unstetigkeitsstelle, nun weis ich nicht wie ich damit verfahren soll.

Die Frage habe ich bereits in einem anderen Forum gepostet, was jedoch ohne Antwort geblieben ist.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...=278907#v278907

Löse Anfangswertproblem:






(Deutung (z.B.): Nach der Zeit wird die Fremdspannung abgeschaltet.)

a) Löse mit Anfangsbedingungen .
Dies ergibt eine Funktion als Lösung der homogenen DGL.

b) Eine Lösung der inhomogenen DGL ist dann das Faltungintegral


c) Stelle die Lösung graphisch dar. (Wegen der Unstetigkeit von ist nur auf und eine -Funktion.)


So, nun zu meiner Lösung:

zu a) hab ich herausgefunden

in das Faltungsintegral bei b) eingesetzt ergibt folgendes:



mein weiteres Vorgehen war, das Integral aufzuteilen, wegen der Unstetigkeitsstelle:




mit


wegen Achsensymmetrie




Ich weis, dass es falsch ist. Aber was ist falsch?

nofreak

PS.:Sorry, aber das mit tex ist doch sehr gewöhnungsbedürftig.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

Könntest du die Aufgabe auch hier ins Forum posten, weil der Link nicht sofort deinen Beitrag anzeigt und ich ihn auch nicht gleich finde...
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltungsintegral: Unstetigkeitsstelle in Funktion
Zitat:
Original von nofreak
mein weiteres Vorgehen war, das Integral aufzuteilen, wegen der Unstetigkeitsstelle:




So, wie sie jetzt da steht, gilt diese Herleitung nur für . Für sieht das etwas anders aus!


EDIT: Oh danke, Leopold - hab ich glatt überlesen. Klar, das C muss weg, oder anders formuliert: C=0
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Du mußt eine Fallunterscheidung durchführen:

1. Fall:


2. Fall:


Und eine Integrationskonstante hat bei einem bestimmten Integral nichts verloren.
nofreak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
...

Und eine Integrationskonstante hat bei einem bestimmten Integral nichts verloren.


1. Was ist mit:


2. Was mache ich dann mit meinen Anfangsbedingungen aus der Aufgabenstellung, die muss ich doch irgendwo unterbringen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nofreak
Zitat:
Original von Leopold
...

Und eine Integrationskonstante hat bei einem bestimmten Integral nichts verloren.


1. Was ist mit:

Was sollte damit sein? Dieses Integral ist einfach mal ! Integrationskonstanten haben nunmal nur bei unbestimmten Integralen etwas zu suchen: , aber bei bestimmten kann man sie gleich weg lassen, weil



ist (ich setze stillschweigend voraus, dass integrierbar ist). Allerdings ist das, was du da gemacht hast, ja noch etwas anderes. Wenn überhaupt, dann müsstest du das C mit in die eckige Klammer nehmen, wo es dann bei der Berechnung aber wieder wegfällt, wie eben gezeigt:



Gruß MSS
 
 
nofreak Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ein Minus vergessen, bei der Substitution:



mit




C fällt also weg, so oder so. Mathespezialschüler, hab dich schon verstanden.

weiter:
Wenn Leopold recht hat, dann folgt:

1. Fall:



2. Fall:





Was ich unterschlagen habe, ist die Aufgabe c)
Stellen Sie die Lösung graphisch dar. (Wegen der Unstetigkeit von ist nur auf und eine -Funktion.)

Soll also heisen, ich zeichne für für das Intervall mit und für das Intervall mit ???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen Vorzeichenfehler in beiden Fällen drin, die tatsächliche Funktion ist



Das liegt daran, dass die Stammfunktion von die Funktion ist - schließlich wird nach und nicht nach integriert.

Zitat:
Original von nofreak

Wenn du nochmal richtig nachschaust, wirst du feststellen, dass die Methode mit dem Faltungsintegral nur eine partikuläre Lösung mit der Eigenschaft liefert. Für andere Aufgabenstellungen ist das aber auch kein Problem - andere Anfangsbedingungen können durch Addition einer entsprechenden Lösung der homogenen Gleichung erfüllt werden.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die DGL mit der LAPLACE-Transformation gelöst.

Sei der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).

Die LAPLACE-Transformierte der DGL inkl. Anfangsbedingungen lautet dann:
.

Rücktransformation mittels Tabelle ergibt:
.

Den Plot dazu habe ich angehängt.

Gruss yeti

Edit: Definition des Einheitssprungs korrigiert (Hinweis Arthur)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@yeti777

Sieht aber eher so aus, als meintest du mit die Heavyside- bzw. Sprungfunktion

.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur:

Ja natürlich, Arthur! Genau die hatte ich auch im Kopf und mit der habe ich auch gerechnet, sonst wäre ich ja gar nicht auf das Resultat gekommen. Danke für die Korrektur.

Wie sagte doch mein Mentor immer: "In der Nacht sind alle Katzen grau, alle Frauen schön und alle Beweise richtig", hmm verwirrt .

Gruss yeti

Aber jetzt geht's ab in die Heia Schläfer ! Morgen will ich in die Berge smile .

Edit: Definition des Einheitssprungs im vorletzten Beitrag richtiggestellt.

PS. Von der Physik her gesehen, könnte man die Lösung als Antwort eines ungedämpften Feder-Masse-Schwingers mit der Kreisfrequenz auf einen Kraftstoss der Höhe 1 und der Länge 1 [s] interpretieren.
nofreak Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Arthur Dent
Du hast einen Vorzeichenfehler in beiden Fällen drin, die tatsächliche Funktion ist
...
Das liegt daran, dass die Stammfunktion von die Funktion ist - schließlich wird nach und nicht nach integriert.[\quote]

Hallo Arthur Dent,

ich glaube, dass du falsch liegst damit, denn:

Bei kann man mit substituieren und daraus folgt:


und nach der Rücksubstitution:


Sorry, Arthur Dent, mein Fehler!

An yeti777:
Wie kommst du darauf, dass die Heavysidefunktion ist? Denn für existiert kein . Die Definition der Heavysidefunktion von Arthur Dent ist zwar richtig, aber passt eben nicht zu .
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@nofreak:

Es ist ! Vielmehr gilt . Und die LAPLACE-Transformierte davon ist .

Als Ingenieur denke ich mehr von der Signaltheorie her. Du hast hier die DGL eines ungedämpften Schwingers. Aus der Systemtheorie ist bekannt, dass man die Antwort eines Systems (Blackbox) auf einen beliebigen Eingang (=rechte Seite der DGL) durch Faltung der Impulsantwort mit dem Eingangssignal erhält. Die Impulsantwort des Systems erhält man, wenn man an den Eingang den DIRAC-Stoss (-Distribution) anlegt. Weil die Faltung doch eine komplexe Operation ist, gehen die Ingenieure einen einfacheren Weg. Sie wenden die LAPLACE-Transformation an und die komplizierte Faltung schrumpft zu einer harmlosen Multiplikation im Bildbereich. Natürlich funktioniert das nur bei linearen DGL mit konstanten Koeffizienten.

Gruss yeti

Nachtrag: Ich habe deine Diskussion mit Arthur nicht verfolgt. Aber seine Lösung deckt sich auf jeden Fall mit der meinigen (gleicher Graph).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@nofreak

Ich korrigiere meine Vermutung: Du hast den Vorzeichenfehler nicht beim Substituieren gemacht.

Sondern beim Intgrieren der Sinusfunktion...
nofreak Auf diesen Beitrag antworten »

(Deutung zu (z.B.): Nach der Zeit wird die Fremdspannung abgeschaltet.)

1. Fall:



2. Fall:






Aufgabe c)
Stellen Sie die Lösung graphisch dar. (Wegen der Unstetigkeit von ist nur auf und eine -Funktion.)


wegen vermute ich eine vektorwertige Funktion, die sich aus den beiden Fällen ergibt, nur bekomme ich die hier nicht mit "plot" in eine Koordinatensystem rein:




Weis jemand, wie man die beiden Funktionen, jeweils auf ihre Intervalle beschränkt, in ein Koordinatensystem zeichnet. Wobei das letztere nicht unbedingt bis unendlich gehen muss. Ich habe Zugang zu folgenden Programmen mit denen es ja irgendwie gehen muss: Mathematica, Maple und Derive (von TI). Immerhin kann mein alter Casio-GFX aus der Schulzeit das auch.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich orientiere mich an der Darstellung

.

von yeti777 und benutze folgende Darstellung der Heavyside-Funktion, die mit Ausnahme des Nullpunkts gültig ist:



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