Einheitskugel

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Gast24 Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitskugel
HY!!!

Da mir die letzten Vorlesungen fehlen, hab ich entsprechende Probleme mit der folgenden Aufgabe:

Für x , n prüfe man, welche der folgenden Ausrücke eine Norm auf definiert und zeichne gegebenenfalls die EInheitskugel.

a) max { i n }

b) min { i n }

c) .

Hab wirklich absolut keinen Plan was ich machen soll.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, welche bedingungen sind denn an eine norm geknüpft?
einfach mal aufschreiben und nachrechnen...

mfg jochen


ps: da ist was verloren gegangen, da steht nur "n>=" nix
größergleich was?
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

n

Also müßte man diese 4 Kriterien nachrechnen? Die habe ich jedenfalls nun dazu gefunden...
* (i) ||x|| e 0 (Positivität);
* (ii) ||x|| = 0 Ò x = 0 (Definitheit);
* (iii) ||±·x|| = |±|·||x|| (Homogenität);
* (iv) ||x + y|| d ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung).
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Hy Loed,
also ich weiß um ehrlich zu sein nicht was für Bedingungen an eine Norm geknüpft sind, eigentlich weiß ich eh nicht was das überhaupt zu bedeuten hat.
Aus unserer Vorlesung kann ich zum Teil nur die Angaben rauslesen, die auch lamalambra ins Netz gestellt hat. Nur was ich damit anfangen soll...
Vielleicht nen Literatur oder Netz Tip, damit man sich mal bisschen einlesen kann? Aus dem Fischer und Beutelspacher werd ich nämlich nicht schlau...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das sind ja auch genau die bedingungen sieht nur komisch aus!
was sind denn das für zeichen? ist das wieder IE-fehler?

eine norm ist eine abbildung von einem vektorraum in den grundkörper, für die gilt:

Zitat:
* (i) ||x|| e 0 (Positivität);
* (ii) ||x|| = 0 Ò x = 0 (Definitheit);

das e heißt >=
das O mit dem strich drüber soll <=> sein
diese beiden werden unter positive definitheit zusammengefasst


Zitat:
* (iii) ||±·x|| = |±|·||x|| (Homogenität)

das +--zeichen ist ein skalar aus dem grundkörper, wird meistens lambda oder a geschrieben


Zitat:

* (iv) ||x + y|| d ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung)

diese d soll <= heißen


mfg jochen
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, kann sein, dass das nicht richtig genommen wurde, habe es einfach nur kopiert!
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das erklärt einiges

wie weit bist du denn gekommen?
du musst für eine norm alle diese dinge zeigen, gegen eine norm einfach alle diese dinge widerlegen

also zu b) fällt mir z.b. gleich eine verletzte regel ein
Polly Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink
Hab mich jetzt mal mit der Definition von Normen beschäftigt, die mir hier im Lexikon gezeigt wurde und da hätte ich ne Frage; ist die Einheitskugel das, was in der Definition als Einheitskreis beschrieben wird? Oder ist das noch was anderes?
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, ich habe da noch mal eine Frage zum Thema a und b, bei den beiden ist ja die Definition in der Klammer die selbe, wo ist denn dann da der Unterschied zwischen min und max?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Merkwürdige Frage - als wüsstest du nicht, was Minimum und Maximum ist. Also ein Beispiel:

min { 7, 12, 9 } = 7
max { 7, 12, 9 } = 12
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Ja war eine doofe Frage, war mir nun halt nur nicht sicher... Habe da noch eine doofe Frage und zwar das erste und zweite Kriterium wie können die denn beide zutreffen, wenn das erste sagt größer gleich 0 und das zweite gleich 0... dann müßte doch, wenn das erste sich als größer 0 herausstellt dann kann das zweite ja nicht mehr stimmen...
Gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

Halli Hallo!!!

Also, ich hab nun zwar auch die Axiome für eine Norm herausgefunden, aber da ich nicht weiß was sie mir sagen, kann ich schlecht eine Aufgabe damit lösen.

Zum Beispiel beim ersten ersten Axiom:
Das hier ist doch definiert durch , oder?
Wenn nun =0 dann folgt daraus, dass die x unter der Wurzel Null sein müssen.
Vielleicht mache ich ein Problem wo gar keins ist, aber was sagt mir das denn jetzt, vorallem wie soll ich das denn zum Beispiel für a prüfen?

Die anderen Axiome sagen mir um ehrlich zu sein noch viel weniger, deshalb seh ich wie lamalambra auch einen Widerspruch zwischen dem ersten und dem zweiten Axiom.

Wozu ich aber noch gar nichts gefunden habe ist zur Einheitskugel.
Weder im Fischer, Beutespacher und im Netz hab ich was gefunden was mir weiterhilft.
Hoffe einer von euch kann mir vielleicht nochmal auf die Sprünge helfen, denn ich weiß nicht mehr was ich machen soll.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
* (i) ||x|| e 0 (Positivität);
* (ii) ||x|| = 0 Ò x = 0 (Definitheit);

das e heißt >=
das O mit dem strich drüber soll <=> sein
diese beiden werden unter positive definitheit zusammengefasst
mfg jochen


die norm ist für alle vektoren >= 0.
aber NUR für den nullvektor =0

wo ist da erin widerspruch?
Gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, wie blöd, habe nicht bedacht, dass das nur für den Nullvektor = 0 gilt. Gut ein Problem gelöst, nur wie ich das auf die Aufgabe anwende???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nachrechnen....

z.b. bei der aufgabe ||*||=Summe der beträge der einzelnen komponenten ist sehr leicht zu zeigen: ||*||>=0, denn beträge sind ja selbst immer >=0, also auch ihre summe.
und nur wenn du immer 0 aufaddierst....

mehr du
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe mir mittlerweile auch schon wieder Gedanken um das Thema gemacht und ich hätte da nun mal einen Vorschlag für a) das erste Axiom, also da da ja das max genommen werden soll würde ich sagen, da es von 1-xn definiert ist, dass xn unser max ist oder? und da es ja größer 1 sein muss, würd ich sagen, dass das erste Axiom zutrifft!

Ist das so richtig?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

halt halt halt

xn muss nicht das amx sein
i läuft von 1 bis n, das heißt du nimmst max von {|x1|,|x2|,...,|xn|}, denn der LAUFINDEX der x läuft zwischen 1 und n

aber da du beträge nimmst, ist dein maximum sicher >=0
so kannst du argumentieren!
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Index meint ich ja eigentlich, habe mich nen bissel falsch ausgedrückt smile Danke für die Bestätigung... Aber noch eine Frage dazu, reicht das denn so, wenn man so hinschreibt oder muss man da noch irgendwas machen zu dem Axiom?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass xn unser max ist oder

das ist sciher nicht nur falsch ausgedrückt
das kann ich nicht anders verstehen, tut mir leid
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Ich meine mehr als Unbekannte hat man ja nicht und somit ist xn doch das max, weil der Index ja theoretisch ins unendliche geht oder versteh ich das nun falsch?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das scheinst du nämlich doch völlig falsch zu verstehen

du hast n werte, die du mit x1, x2,x3,...,xn TITULIERST
nun läuft dein index i von 1 bis n, d.h. du schaust alle xi an (alle n stück)

und von deren WERTEN wählst du dann den maximalen aus
der name x_index spielt dabei keinerlei rolle mehr

BSP: n=3, x1=7, x2=3, x3=5
max{xi|i=1,2,3}=7.in dem fall ist x1 maximal

mfg jochen
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so hatte ich das nun tatsächlich nicht verstanden *g Könnte ich nicht theoretisch dann auch 0 und minus-Werte einsetzen für x? Die kann ich dann doch eigentlich frei wählen oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die x_i sind allesamt reelle zahlen

bedenke dabei aber, dass du das maximum der BETRÄGE suchst
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz
Hallöchen nochmal...
Ich hoffe, dass ich mit dem folgenden auf dem richtigen Weg bin:

1. = 0 = max { 1 } x = 0

2. = max{ 1 } max { 1 } + max { } =

3. = max { } =
max { } =

Und nun, bin ich fertig oder was meint ihr?
Vorallem weiß ich nicht wie ich jetzt auf die Einheitskugel komme, denn leider weiß ich immer noch nicht was das ist.
Wär nett, wenn sich das mal einer genauer anschauen könnte.
MfG Krümel
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
naja, da stehen ja so einige der bedingungen (fehlt noch dass die norm >=0 ist)

aber irgendwie sehe ich da keinerlei begründungen......
vielleicht solltest du noch ein paar worte verlieren, warum deine folgepfeile gelten....
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ich dachte, dass nur die oben geannten 3Sachen zu zeigen sind.
Also entweder 0 oder
= 0.
Wenn doch beides, dann versteh ich schon wieder nur Bahnhof.

Schön, dass du das auch so siehst, dass das nicht wirklich ausreichend ist. Nur mir wurde das heut so erklärt, nur für mich gibt es da nicht so viel dran zu verstehen, da alles irgendwo nur gleichgesetzt ist und für mich hier nicht gezeigt wurde, dass es sich um eine Norm handelt.
Nur mehr fällt mir zu der Aufgabe nicht ein, denn ich hatte ja schon geschrieben, dass ich nicht weiß wie ich die Axiome auf die Aufgaben anwenden soll.
Vielleicht noch nen Tip?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich mach dir mal die positive definitheit für den fall vor

||x||>=0, das folgt direkt daraus, dass du das maximum von einer menge von beträgen nimmst. die beträge sind alle >=0, also auch das maximum.
nun noch zu zeigen: ||x||=0 <=> x=0
dafür:
"<=" diese richtung ist trivial
"=>" norm von x=0, d.h. das maximum der beträge ist =0; du weißt aber, dass diese alle >=0 sind, da aber 0 maximal ist müssen sie direkt alle =0 sein! (wäre ein eintrag <>0, dann wäre sein betrag größer als |0|)
daraus folgt also, dass alle einträge 0 sein müssen => x ist der nullvektor

so hätte ich mir das vorgestellt....
ist vielleicht noch etwas viel text, aber ich denke verständlich oder....

die linearität ist an sich nicht schwer
dreiecksungleichung mit etwas kenntnis von beträgen auch nicht

mfg jochen
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. danke schon mal probiers morgen nochmal aufs Neue.
Denke aber das ich das jetzt soweit hinbekommen dürfte.
Nur mit der EInheitskugel hab ich noch immer keinen Plan,
ist das denn die Definition die hier unter Einheitskreis steht?
Und wenn ja, wie schließe ich aus den geprüften Norm-Axiomen auf selbigen?
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe !!!
Hallöchen nochmal...

Hier mein Lösungsansatz zu b:

}
z.z. :

Beispiel: x
= min { (0, 1) } = 0
0 < x ( 0, 1 ), da kein kleineres Element zur
Verfügung steht, also x 0.

Daraus folgt, dass b keine Norm ist, oder ???

Auch wenn ich nerve, weiß denn hier nieman was zur Einheitskugel???

MfG Krümel
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskugel
hallo ja b) ist keine norm

ich kenne den begriff einheitskugel füt gewöhnlich nur bei der euklidnorm
nichtsdestotrotz vermute ich, dass alle punkte P (des IR^n) auf der einheitskugel liegen, für die der vektor im affinen punktraum von O nach P genau norm 1 hat.
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du uns vielleicht erklären, was das nun genau bedeutet?
Hast du vielleicht gerade mal ein Beispiel bereit?
Miteiferer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo...
Wenn man bei a) ein Beispiel macht, also zum Beispiel: = =7
Ist das richtig?
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Hy Miteiferer!!!
Also ich denke schon, dass das so richtig ist.
Zeige einige Axiome auch anhand von Beispielen und meins ist so ähnlich.

Hast du zufällig nen Plan wie das mit der Einheitskugel funktioniert?
MfG Krümel
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Krümel denke nicht, dass Miteiferer das weiß, denn sonst wüßte ich es auch, hatte vorhin auf die schnelle keine Lust mich anzumelden, sorry *g
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, aber vielleicht kann sich hier ja nochmal einer mit diesem Thema beschäftigen ???
Eine Definiton der Einheitskugel bzw. des Kreises steht ja hier, nur wie wendet man das bitte an???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wo liegt das problem, alle vektoren mit norm 1 zu berechnen?

@miteiferer: nein, das ist sinnlos, du musst es FÜR ALLE zeigen, ein beispiel reicht da nicht
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn nun für alle? Ich habe drei Beispiele aufgeführt, einmal das obige, dann eins mit - Werten und noch mal mit 0, die Beträge bleiben immer größer gleich 0 und daraus folgt doch dann, dass das max größer gleich 0 ist und somit das Norm erfüllt ist oder nicht?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

an einem beispiel folgt sicher nicht, dass das für ALLE gelten muss

annahme: jede reelle zahl ist größer 0
ich mache ein Beispiel: 7, ah es glt 7>0 und damit gilt es für ALLE reellen zahlen

merkst du das problem?
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es ist doch klar, dass für alle x im positiven Bereich der Wert größer 0 sein wird...
und für alle x im negativen Bereich, werden die doch auch immer größer 0 sein, dass man ja den Betrag rechnet, d.h. erstmal quadriert, dann wird der Wert positiv und die Wurzel zieht oder seh ich das falsch?Also sind da die Werte auch größer 0...
und wenn ich den Wert 0 habe, ist ja klar, dann kommt 0 0 raus...

Das würde ich nun mathematisch aufschreiben und dachte, dass man das anhand solcher Beispiele ergänzen könnte oder nicht?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

um ein beispiel ERGÄNZEN kannst du das (musst aber nit, würde ich auch niht tun)

aber das beispiel ALLEINE reicht eben nicht, aber wenn der mathematische teil dabei steht isses klar
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