Lösungen in R und C bei komplexen Zahlen

15.01.2008, 15:49

steka

Lösungen in R und C bei komplexen Zahlen

Hi Leute,
bei mir sind es noch 4 Wochen bis zur ersten Klausur in Mathe, geprüft werde ich in Algebra und Analysis.

Angefangen zu lernen habe ich nun bei der Algebra, da ich dieses Kapitel eigentlich besser verstehe, als Analysis und mir daher denke, dass es von Vorteil wäre so zu beginnen. Schließlich habe ich dann später mehr Zeit die Analysis zu verinnerlichen.

In der Algebra bin ich aber etwa auf der Hälfte unseres Skripts auf ein Problem gestoßen.Ich ziehe das Skript anhand der vorhandenen Übungsaufgaben durch.

Hier die Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Lösungen in R und C der algebraischen Gleichungen
$\begin{eqnarray*} 4x(x+1)=-5 \end{eqnarray*}$

Nun, ich kenne die Lösung, kann den Gedankengang auch gut nachvollziehen, bis eben auf die Integration der Variable i.

Ich habe natürlich im ersten Schritt direkt umgeformt, so dass ich $\begin{eqnarray*} 4x²+4x+5=0 \end{eqnarray*}$ erhalten habe.

Meines Wissens kann ich das Ganze nun nach PQ-Formel oder abc Formel auflösen. Aber: wie bekomme ich das i herein ?

Was ist dabei die Überlegung ? Gibt es standard-Lösungsansätze für solche Aufgabenstellungen ?

15.01.2008, 15:53

kiste

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Naja etwas unformal hingeschrieben:
Wenn bei der Wurzel etwas negatives auftaucht macht man es zu was positivem und schreibt ein i davor Augenzwinkern

15.01.2008, 15:57

steka

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Muss das i mit unter die Wurzel ?

oder wie sieht das dann aus ?

Erhalte ich z.B. unter der Wurzel ein negatives Ergebnis von -1, schreibe ich dann -i + 1 ?

15.01.2008, 15:59

klarsoweit

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RE: Lösungen in R und C bei komplexen Zahlen
Man kann auch mit den guten alten binomischen Formeln arbeiten:

$\begin{eqnarray*} 4x²+4x+5 = (2x+1)^2 + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Da führt dann zu $\begin{eqnarray*} (2x+1)^2 = (\pm 2i)^2 \end{eqnarray*}$

15.01.2008, 16:01

kiste

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Beispiel: $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 2}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{-2\pm\mathrm{i}\sqrt{4}}{2} = \frac{-2\pm 2\mathrm{i}}{2} \end{eqnarray*}$

15.01.2008, 16:02

steka

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ahja gut, ok. Das ist für mich verständlich. Danke.

16.01.2008, 12:17

steka

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Sorry, das gestaltet sich für mich irgendwie doch schwieriger.

Hier das erste Beispiel:
$\begin{eqnarray*} (x²+4)*(x+2)=0 \end{eqnarray*}$

Wie ist da die Überlegung, um auf eine Lösung im reellen und komplexen Raum zu kommen ?
Ich kenne bereits die Lösung, der Ansatz lautete
$\begin{eqnarray*} (x+2i)(x-2i)(x+2)=0 \end{eqnarray*}$
Klar, im Nachhinein betrachtet... Aber auf sowas komme ich während einer 2-stündigen Prüfung nicht (noch nicht).

Mein Ansatz war erstmal, das Zeug auszumultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} x³+2x²+4x+8=0 \end{eqnarray*}$

Hab ich mich dann da schon komplett verrannt oder ist noch Land in Sicht?

das zweite Beispiel lautete ja

$\begin{eqnarray*} 4x²+4x+5=0 \end{eqnarray*}$

Nehme ich die abc Formel, dann erhalte ich unter der Wurzel -64. Also ein negatives Ergebnis. Wenn man einfach ein i davor setzt und dann die positive Wurzel zieht, wieso lautet dann das Ergebnis nicht $\begin{eqnarray*} -0,5 +-i*8 \end{eqnarray*}$ ?

Tut mir Leid euch damit zu nerven, aber ich muss es halt verstehen. In meinem tollen Algebra Buch für Ingenieure find ich darüber auch nichts ... grml.

16.01.2008, 12:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von steka
Mein Ansatz war erstmal, das Zeug auszumultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} x³+2x²+4x+8=0 \end{eqnarray*}$

Schon falsch. Wenn man faktoren hat, sollte man die unbedingt so lassen.

Zitat:

Original von steka
Wie ist da die Überlegung, um auf eine Lösung im reellen und komplexen Raum zu kommen ?
Ich kenne bereits die Lösung, der Ansatz lautete
$\begin{eqnarray*} (x+2i)(x-2i)(x+2)=0 \end{eqnarray*}$
Klar, im Nachhinein betrachtet... Aber auf sowas komme ich während einer 2-stündigen Prüfung nicht (noch nicht).

Ist doch ganz simpel: ein Produkt wird Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Zitat:

Original von steka
das zweite Beispiel lautete ja

$\begin{eqnarray*} 4x²+4x+5=0 \end{eqnarray*}$

Nehme ich die abc Formel, dann erhalte ich unter der Wurzel -64. Also ein negatives Ergebnis. Wenn man einfach ein i davor setzt und dann die positive Wurzel zieht, wieso lautet dann das Ergebnis nicht $\begin{eqnarray*} -0,5 +-i*8 \end{eqnarray*}$ ?

Dann zeige mal deine Rechnung.

16.01.2008, 13:09

steka

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von steka
Mein Ansatz war erstmal, das Zeug auszumultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} x³+2x²+4x+8=0 \end{eqnarray*}$

Schon falsch. Wenn man faktoren hat, sollte man die unbedingt so lassen.

Zitat:

Ist doch ganz simpel: ein Produkt wird Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Zitat:

Dann zeige mal deine Rechnung.

Zu 1. : Okay Augenzwinkern

Zu 2. : Oh man, das habe ich gestern direkt gesehen und heute übersehen Hammer

Zu 3. :

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-4\pm \sqrt{4²-4*4*5} }{2-4} *i \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel also -64. Ich hab jetzt einfach nur das abgechrieben was ich gestern aufgeschrieben habe.

Also wäre für mich das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \pm 8*i \end{eqnarray*}$

Ich hoffe wirklich, dass ich diese Defizite in Mathe noch bis zur Prüfung auslöschen kann... Einige Themen (Matrizen etc..) kann ich ganz vernünftig, bei anderen hakts komplett aus.

16.01.2008, 13:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von steka
$\begin{eqnarray*} x = \frac{-4\pm \sqrt{4²-4*4*5} }{2-4} *i \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn das 2-4 im Nenner her? verwirrt