kubische Splineinterpolation

15.01.2008, 17:49

Fletcher

kubische Splineinterpolation

Guten Abend,

ich habe hier folgende Datenpaare, welche ich mit $\begin{eqnarray*} (x_i,y_i) \end{eqnarray*}$ bezeichne vorliegen;

$\begin{eqnarray*} (-1,1),(0,0), (1,1), (2,8) \end{eqnarray*}$

Ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):= |x|^3 \end{eqnarray*}$ eine in den Punkten $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ interpolierende kubische Splinefunktion für die Werte $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ ?

Ehrlich gesagt verstehe ich die Fragestellung nicht 100%. Ich habe mir jetzt einfach mal meine Splineinterpolierenden auf den verschiedenen Intervallen zwischen den Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ berechnet, aber wie geht es jetzt weiter? Vielleicht hätte ich diese auch gar nicht gebraucht!

Mir ist nur aufgefallen, dass diese Funktionen an den Stellen x_1 und x_2 nicht stetig sind und das doch eigentlich sein sollten, ist das vielleicht schon der Schlüssel zu der Lösung oder habe ich mich möglicherweise verrechnet? (habe es zweimal kontrolliert)

Vielen Dank für Euere Infos

15.01.2008, 18:03

tigerbine

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RE: kubische Splineinterpolation
Schauen wir uns die Funktion einmal an.

Die Interpolierende Eigenschaft ist schnell gezeigt. Auch ist die Funktion stetig. Der Haken einer Betragsfunktion liegt in ihrer Differenzierbarkeit. Es ist:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} -x^3 & x <0 \\ +x^3 & x \leq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie "glatt" ist nun diese Betragsfunktion. Bei dem "klassischen Beispiel"

$\begin{eqnarray*} g(x)=|x| =\begin{cases} -x & x <0 \\ +x & x \leq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

scheitern wir schon beim ersten Versuch, denn die Grenzwerte der einzelnen Differenzenquotienten stimmen nicht überein. Wie sieht es hier aus?

15.01.2008, 21:23

Fletcher

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Okay mir ist es jetzt klar um was es geht, aber meine Betragsfunktion ist doch zweimal stetig differnzierbar. Es wird doch erst ab 3. Ableitung problematisch, weil dann zwei unterschiedl. Grenzwerte des Differenzenquotienten existieren. Ist das der sprigende Punkt nicht wahr?

15.01.2008, 21:28

tigerbine

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Wenn man die Funktion Abschnittsweise betrachtet, so liegen Polynome vom Grad 3 vor. Für einen kubischen Spline muss gelten:

Zitat:

Stetigkeits- und Glattheitsbedingungen

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$\begin{eqnarray*} \text{(4a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad S(t_j)=f_j \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad j = 0,2,...,n \qquad \quad \text{Interpolationsbedingung 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \quad R_{j-1}(t_j) = R_j(t_j)=:u_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{Stetigkeit in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad R'_{j-1}(t_j) = R_j'(t_j)=:s_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{1x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4. \quad R''_{j-1}(t_j) = R_j''(t_j) \quad \qquad \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{2x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$
____________________________________________________

$\begin{eqnarray*} - \qquad \qquad 4n-2 \quad \text{Bedingungen} \end{eqnarray*}$

Da insgesamt 4n Freiheitsgrade vorhanden sind, müssen noch 2 Bedingungen hinzugefügt werden, um Eindeutigkeit zu erhalten.

Dagegen verstößt die Funktion nicht. Interessant ist also, wie wurden hier die 2 weiteren Bedingungen gewählt? Klassische Varianten sind, normale und vollständige Splines.

Mal zwei Bildchen dazu

16.01.2008, 20:21

Fletcher

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Naja ich kenne da noch insgesamt 3 verschiedene Randbedingungen, die natürlichen, periodischen und vollständigen. Meiner Meinung nach kann man auch diese erfüllen. Keine dieser Bedingungen braucht die 3. Ableitung. Offensichtlich verstehe ich die Aufgabe nicht.

16.01.2008, 20:25

tigerbine

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Die Funktion verstößt gegen keine der (4n-2) Bedingungen. Also ist sie das, was man i.A. unter einem kubischen Spline versteht. Nun sind noch 2 Bedingungen frei und mit meinen Bildern solltest Du auch zeigen können, welche bekannte Art von kub Spline hier vorliegt.

16.01.2008, 22:08

Fletcher

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Soviel weiß ich leider nicht über Splines. Wie gesagt offensichtlich verstehe ich die Aufgabe nicht. Was meinst du denn mit bekannte Art? Vielleicht die natürlichen kubischen Splines? Andere haben wir leider noch nicht. Im Internet höre ich häufig noch den Begriff B-Splines, aber was es damit auf sich hat weiß ich nicht.

16.01.2008, 22:12

tigerbine

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Zitat:

Original von Fletcher
Naja ich kenne da noch insgesamt 3 verschiedene Randbedingungen, die natürlichen, periodischen und vollständigen.

Da hast Du aber noch mehr gekannt. Und wenn Du die Legende meiner Bilder lesen würdest, wäre eigentlich schon alles klar. Das ist aber Zusatzstoff und zur Beantwortung der Aufgabe nicht nötig. Da reichen die existierenden Ableitungen.

16.01.2008, 22:21

Fletcher

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Die Legende deiner Bilder habe ich selbstverständlich gelesen und auch erkannt, dass da einmal natürliche kubische Splines und einmal vollständige kubische Splines steht. Ich bin dir auch sehr dankbar, dass du mir hilfst.
Heißt das jetzt, dass diese Funktion unter der Bedingung das ich als Randbedingungen die vollständigen hernehme eine interpolinerende kubsche Splinefunktion ist? Das muss doch die Lösung sein oder Gott

16.01.2008, 22:26

tigerbine

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Nein. Die Funktion genügt wie ich schon sagte den 4n-2 Bedingungen, die man i.A. an einen kub Spline stellt. Würde man es wörtlich nehmen, würde schon jede stückweise aus Polynomen dritten Grades mit der Interpolierenden Eigenschaft ein solcher sein.

Die letzen 2n dienen der Eindeutigkeit und hier ergibt sich eben (zufällig), dass die Interpolierende Funktion ein interpolierender vollst. Kubischer Spline ist.

16.01.2008, 22:46

Fletcher

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Achso ist das gemeint, naja ich rätsel da die ganze Zeit herum. Ich habe da glaub ich zu kompliziert gedacht, es gibt nämlich immerhin 3 Punkte.

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