Abbildung (der Ableitung) von Polynomen

16.01.2008, 15:41

daN-R-G

Abbildung (der Ableitung) von Polynomen

Hallo!

Ich weiß nicht ganz, ob der Titel so prächtig gewählt ist, aber ich habe hier mal wieder ne Aufgabe, wo ich ein wenig Unterstützung gebrauchen könnte. Sie lautet folgendermaßen:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Körper und $\begin{eqnarray*} D: K[X] \to K[X] \end{eqnarray*}$ die durch $\begin{eqnarray*} \sum_{i \geq 0}~a_iX^i \mapsto \sum_{i \geq 1}~ia_iX^{i-1} \end{eqnarray*}$ definierte Abbildung.

a) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ linear ist und benutze dies, um $\begin{eqnarray*} D(fg) = fD(g) + gD(f) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f, g \in K[X] \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

b) Bestimmt $\begin{eqnarray*} Kern(D) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Bild(D) \end{eqnarray*}$ im Falle von $\begin{eqnarray*} char(K) = 0 \end{eqnarray*}$

c) Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} Kern(D^n) \end{eqnarray*}$ im Falle von $\begin{eqnarray*} char(K) = 0 \end{eqnarray*}$ die Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ besitzt, andernfalls aber nicht endlich-dimensional ist.

Zu a) würde ich so argumentieren:

Nachweis der Linearität:
Sei $\begin{eqnarray*} f, g \in K[X], a,b \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \\D(f+g) &&= D(\sum_{i = 0}^n~a_iX^i + \sum_{i = 0}^n~b_iX^i )\\ &&= D(\sum_{i = 0}^n~(a_i+b_i)X^i)\\ &&= \sum_{i = 1}^n~((i(a_i+b_i))X^{i-1}\\ &&= \sum_{i = 1}^n~(ia_i+ib_i)X^{i-1}\\ &&= \sum_{i=1}^n~ia_iX^{i-1} + \sum_{i=1}^n~ib_iX^{i-1}\\ &&= D(f) + D(g) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda D(f) = \lambda D(\sum_{i = 0}^n~a_iX^i) = \lambda (\sum_{i = 1}^n~ia_iX^{i-1} = \sum_{i = 1}^n~\lambda ia_iX^{i-1} = D(\lambda f) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich die Linearität so korrekt gezeigt habe. Kann das jemand bestätigen? Nun wüsste ich allerdings nicht genau, wie ich hierraus $\begin{eqnarray*} D(fg) = fD(g) + gD(f) \end{eqnarray*}$ folgern kann.

Bei b) und c) stehe ich auch noch relativ aufm Schlauch. Die Dimensionsformel für Lineare Abbildungen kenne ich schonmal, also $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(Kern f) + \dim(Bild f) \end{eqnarray*}$ . Ich denke mal, dass ich sie hier irgendwie gebrauchen könnte?

Hat wohl jemand ein paar Ratschläge, wie ich diese Aufgabe lösen könnte?

16.01.2008, 16:34

tigerbine

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Hast Du in der Angabe die n vergessen, oder wo kamen die nun her...

$\begin{eqnarray*} \\D(f+g) &&= D(\sum_{i \geq}~a_iX^i + \sum_{i \geq 0}~b_iX^i ) \\&&= D(\sum_{i \geq}~(a_i+b_i)X^i) \\&&\stackrel{\text{Subst.}}= D(\sum_{i \geq}~c_iX^i) \\&&\stackrel{\text{Def.}}= \sum_{i \geq 1}~i c_iX^{i-1} \\&&= \sum_{i \geq 1}~i(a_i+b_i)X^{i-1} \\&&= \sum_{i\geq 1}~ia_iX^{i-1} + \sum_{i \geq 1}~ib_iX^{i-1} \\ &&= D(f) + D(g) \end{eqnarray*}$

16.01.2008, 16:52

daN-R-G

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Ups... ja klar. So wie du es schreibst, ist es natürlich korrekt hin hinblick auf die Aufgabenstellung. Meinte aber im Prinzip das gleiche damit. Danke schonmal für die Korrektur smile

Dann habe ich das mit der Linearität ja schonmal richtig. Nur wie gesagt, hänge ich da nun an den anderen Aufgabenteilen.

Gehe ich am besten mal den Rest von a) an:

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} D(fg) = fD(g) + gD(f) \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} \\D(fg) &&= D((\sum_{i \geq 0}~a_iX^i) \cdot (\sum_{i \geq 0}~b_iX^i))\\ &&= ... \end{eqnarray*}$

Genau hier hänge ich schon. Wie soll ich das Produkt der Polynome hier reinbringen? Normal würde ich ja jede Komponente mit jeder multiplizieren und alle zusammenaddieren. Aber ich glaube, da bin ich doch irgendwie aufm dem Holzweg.

16.01.2008, 17:05

Leopold

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Wenn du speziell für Monome $\begin{eqnarray*} X^i, X^j \end{eqnarray*}$ gezeigt hast: $\begin{eqnarray*} D \left( X^i X^j \right) = X^i D \left( X^j \right) + X^j D \left( X^i \right) \end{eqnarray*}$ , dann kannst du den allgemeinen Fall mit

$\begin{eqnarray*} f = \sum_i a_i X^i \, , \ \ g = \sum_j b_j X^j \end{eqnarray*}$

darauf zurückführen. Denn nach dem Distributivgesetz gilt

$\begin{eqnarray*} fg = \sum_{i,j} a_i b_j X^i X^j \end{eqnarray*}$

wo $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ laufen möge. Und bei dieser Summendarstellung kann man sich die Linearität von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zunutze machen. Es ist nicht erforderlich, den Ausdruck nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu ordnen. Das vereinfacht die Aufgabe ein wenig.

Was ist denn der Kern einer linearen Abbildung? Das sind doch die Elemente, die auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Aus der Schule weißt du aber, welche Polynome abgeleitet $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Und das mußt du hier im engen Rahmen der Algebra der formalen Polynome erneut nachweisen. Das ist ganz einfach. Arbeite direkt mit der Definition von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Beim Bild muß man sich fragen: Welche Elemente liefert $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ? Gibt es Polynome, die durch die Differentiation $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nicht erreicht werden? Oder gibt es keine solchen Polynome? Denke an die Integralrechnung aus der Schule.

Und was $\begin{eqnarray*} D^n \end{eqnarray*}$ angeht, ziehe zunächst Beispiele zu Rate. Wie ist das etwa mit $\begin{eqnarray*} D^3 \end{eqnarray*}$ ? Wenn man ein Polynom dreimal ableitet, soll sich das Nullpolynom ergeben. Für welche Polynome ist denn das der Fall?

Und ist schließlich die Charakteristik des Körpers von 0 verschieden, sind noch weitere Gemeinheiten vorhanden ...

16.01.2008, 17:22

daN-R-G

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Ui... das ist ja schonmal einiges an Input, was ich jetzt erstmal versuchen muss, zu verarbeiten.
Also gehen wir nochmal auf a) zurück.

Ich habe ja jetzt zunächstr die Linearität von D gezeigt. Okay...
Ich denke du meinst, dass ich das mit den Monomen zunächst so zeige:

$\begin{eqnarray*} D(fg) = D(X^nX^m) = D(X^{n+m}) = (n+m) \cdot X^{n+m-1} \end{eqnarray*}$

Desweiteren gilt:

$\begin{eqnarray*} fD(g) = X^n \cdot D(X^m) = X^n \cdot (m\cdot X^{m-1}) = mX^{m+n-1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} gD(f) = X^m \cdot D(X^n) = X^m \cdot (n\cdot X^{n-1}) = nX^{m+n-1} \end{eqnarray*}$
woraus sich ergibt
$\begin{eqnarray*} fD(g)+gD(f) = (n+m) X^{n+m-1} = D(fg) \end{eqnarray*}$

Jetzt hänge ich allerdings wieder, wie ich das dann darauf zurückführen soll. Meintest du das denn überhaupt so?

16.01.2008, 17:43

Leopold

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Ich fange einmal an. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ seien wie in meinem vorigen Beitrag definiert. Sagen wir, $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ soll von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ laufen:

$\begin{eqnarray*} D(fg) = D \left( \sum_{i,j} a_i b_j X^i X^j \right) = \sum_{i,j} a_i b_j D \left( X^i X^j \right) \end{eqnarray*}$

Da wurde nur die Linearität von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ verwendet. Jetzt geht es weiter mit dem Spezialfall. Dann die Summe in zwei Teile zerlegen und bloß hinschauen und erkennen, daß das Gewünschte schon dasteht, wenn man wieder die Linearität von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ einsetzt.

16.01.2008, 18:26

daN-R-G

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Ich kann mir echt vorstellen, wie des ablaufen soll, aber ich kriegs irgendwie nicht auf die Kette.

Du hast also mit den besagten $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ angefangen.

$\begin{eqnarray*} \\D(fg) && = D(\sum_{i,j} a_i b_j X^i X^j)\\ && = \sum_{i,j} a_i b_j D \left( X^i X^j \right)\\ && = \sum_{i,j} a_i b_j \cdot (i+j \cdot X^{i+j-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt irgendwie wüsste, wie ich des in 2 Summen splitten kann, dann wäre mir denke ich schon mehr als geholfen.

Am Ende der Beweiskette muss ja sowas stehen

$\begin{eqnarray*} \\ ... && = (\sum_{i \geq 0}a_iX^i \cdot \sum_{j \geq 1}jb_jX^{j-1}) + (\sum_{j \geq 0}b_jX^j \cdot \sum_{i \geq 1}ia_iX^{i-1})\\ && = (\sum_{i \geq 0}a_iX^i \cdot D(\sum_{j \geq 0}b_jX^j)) + (\sum_{j \geq 0}b_jX^j \cdot D(\sum_{i \geq 0}a_iX^i)) \\ && = fD(g) + gD(f) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Zitat:

Original von Leopold
Was ist denn der Kern einer linearen Abbildung? Das sind doch die Elemente, die auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Aus der Schule weißt du aber, welche Polynome abgeleitet $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Und das mußt du hier im engen Rahmen der Algebra der formalen Polynome erneut nachweisen. Das ist ganz einfach. Arbeite direkt mit der Definition von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Also Polynome, die nurnoch aus Koeffizienten bestehen, sind abgeleitet $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Aber das nun in den geeigneten Rahmen zu packen. Uhm... muss ich echt mal stark drüber nachdenken.

Zitat:

Original von Leopold
Beim Bild muß man sich fragen: Welche Elemente liefert $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ? Gibt es Polynome, die durch die Differentiation $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nicht erreicht werden? Oder gibt es keine solchen Polynome? Denke an die Integralrechnung aus der Schule.

Uff... da habe ich jetzt absolut garkeinen Ansatz zu. Also zum Kern und zum Bild bräuchte ich echt vll. noch nen Hinweis. Irgendwann muss ja auch ich mal drauf kommen.

16.01.2008, 18:33

Leopold

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Du brauchst nicht wieder bei Adam und Eva anfangen. Verwende, was du schon gezeigt hast:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i,j} a_i b_j D \left( X^i X^j \right) = \sum_{i,j} a_i b_j \left( X^i D \left( X^j \right) + X^j D \left( X^i \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{i,j} a_i X^i b_j D \left( X^j \right) \ \ + \ \ \sum_{i,j} b_j X^j a_i D \left( X^i \right) \end{eqnarray*}$

16.01.2008, 18:53

daN-R-G

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Hehe... okay... hast gerade editiert. Das war noch der Punkt, den ich grad nicht nachvollziehen konnte. Okay! Das klingt logisch. Ich denk da manchmal einfach viel zu kompliziert bzw habe nicht den richtigen Überblick für.

Also nochmal zusammengefasst:

Lemma 1:
$\begin{eqnarray*} fD(g) = X^n \cdot D(X^m) = X^n \cdot (m\cdot X^{m-1}) = mX^{m+n-1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} gD(f) = X^m \cdot D(X^n) = X^m \cdot (n\cdot X^{n-1}) = nX^{m+n-1} \end{eqnarray*}$
woraus sich ergibt
$\begin{eqnarray*} fD(g)+gD(f) = (n+m) X^{n+m-1} = D(fg) \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} D(fg) = fD(g) + gD(f) \end{eqnarray*}$
Beweis:

$\begin{eqnarray*} \\D(fg) && \stackrel{\mathrm{Distr.}}= D(\sum_{i, j}a_ib_j X^iX^j)\\ && \stackrel{\mathrm{Lin. von D}}= \sum_{i,j}a_ib_j D(X^iX^j)\\ && \stackrel{\mathrm{Lemma1}}= \sum_{i,j} a_i b_j \left( X^i D \left( X^j \right) + X^j D \left( X^i \right) \right)\\&& = \sum_{i,j} a_i X^i b_j D \left( X^j \right) \ \ + \ \ \sum_{i,j} b_j X^j a_i D \left( X^i \right)\\ &&= fD(g) + gD(f) \end{eqnarray*}$

Ich glaube, das habe ich halbwegs verstanden. Danke dir schonmal vieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeelmals! Prost

Hat noch wer nerven, mir nen Hinweis zu b) bzw c) zu geben? Dann solls das aber auch für heute gewesen sein :P

16.01.2008, 22:09

Leopold

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Die Algebra identifiziert ein Polynom mit der Folge seiner Koeffizienten. Ein Polynom ist also genau dann das Nullpolynom, wenn alle seine Koeffizienten verschwinden. Für

$\begin{eqnarray*} f = \sum_{i=0}^n a_i X^i \end{eqnarray*}$

gilt also

$\begin{eqnarray*} Df = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sum_{i=1}^n i \, a_i X^{i-1} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ i \, a_i = 0 \, , \ 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ a_i = 0 \, , \ 1 \leq i \leq n \ \ \Leftrightarrow \ \ f \ \text{konstant} \end{eqnarray*}$

Und hier ging an einer Stelle ein, daß der Körper die Charakteristik 0 hat. Wo?

16.01.2008, 22:55

daN-R-G

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Ich denke mal, dass das genau an dieser Stelle einging:

$\begin{eqnarray*} i \, a_i = 0 \, , \ 1 \leq i \leq n \Leftrightarrow \ \ a_i = 0 \, , \ 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$

Die Begründung nun formal hinzuschreiben, hm. Das ist schwer zu sagen. Die Multiplikation könnte ja einen "Überlauf" produzieren, sodass $\begin{eqnarray*} ia_i = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i, a_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Meintest du etwa sowas?

17.01.2008, 07:08

Leopold

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Irgendwo siehst du Probleme, wo gar keine sind. Jedenfalls verstehe ich deine letze Äußerung nicht. Mein voriger Beitrag ist der vollständige Beweis dafür, daß der Kern von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ aus den konstanten Polynomen besteht. Und die Stelle, wo die Sache mit der Charakteristik eingeht, hast du ja korrekt lokalisiert. Man muß sich klar darüber sein, daß $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ streng genommen nicht für eine natürliche Zahl steht, sondern für die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -malige Addition der Körper-Eins. Und bei Charakteristik 0 kann diese Addition niemals $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Und daher darf man auch dividieren und multiplizieren, so daß der Äquivalenzpfeil seine Berechtigung hat.

17.01.2008, 08:48

daN-R-G

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Okay! Ne Nacht drüber zu schlafen hat denke ich geholfen, bzw. kann ich das jetzt auch nach vollziehen. Supervielen Dank.

Das einzige, was mir noch Fehlt, ist, dass $\begin{eqnarray*} Kern(D^n) \end{eqnarray*}$ im Fall von $\begin{eqnarray*} char(K) = 0 \end{eqnarray*}$ n-dimensional ist, andernfalls nicht-endlich-dimensional.

$\begin{eqnarray*} Kern(D^n) \end{eqnarray*}$ besteht doch aus den Polynoment, dessen $\begin{eqnarray*} grad(f) \leq n-1 \end{eqnarray*}$ ist, denn z.B. ein 2-gradiges Polynom ist spätestens nach 3 mal ableiten = $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Korrekt, oder?

Leider tue ich mich wieder mit der formalen Schreibweise etwas schwer. Müsste ich da nicht irgendwie mit ner Basis arbeiten?

17.01.2008, 19:35

Leopold

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Auch hier ist es wieder einfacher, als du glaubst. Beginnen wir ganz vorne: $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} D^2 f = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ D (Df) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ Df \ \text{konstant} \end{eqnarray*}$

Beim letzten Äquivalenzschritt haben wir das schon in b) Bewiesene verwendet. Und weiter geht es:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ Df = D(aX) \ \text{mit} \ a \in K \ \text{geeignet} \ \ \Leftrightarrow \ \ D(f-aX) = 0 \end{eqnarray*}$

Zuletzt wurde die Linearität verwendet. Und jetzt wieder mit b):

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ f-aX \ \text{konstant} \ \ \Leftrightarrow \ \ f-aX = b \ \text{mit} \ b \in K \ \text{geeignet} \ \ \Leftrightarrow \ \ f = aX + b \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{grad}(f) \leq 1 \end{eqnarray*}$

Und das geht so weiter. Oder wie wäre es - formaler - mit Induktion?

17.01.2008, 20:49

daN-R-G

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Okay! Ich denke ich habs soweit verstanden! Danke dir nochmal vielmals für deine Geduld und Hilfe! Das passiert mir leider noch sehr oft, dass ich das ganze zu kompliziert angehe. Ich hoffe, das bekomme ich auch nochmal hin.

Aber trotzdem nochmal danke! Gott

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