Isokaeder

14.06.2005, 15:00	Renée	Auf diesen Beitrag antworten »
Isokaeder Hallo! Kann mir jemand sagen, wo ich rauskriegen kann, wie die Formeln zur Berechnung von Volumen,Oberflächeninhalt u.s.w. eines ISOKAEDERS zustande kommen, also WARUM sie so lauten, wie sie lauten??? Oder weiß das hier jemand???
14.06.2005, 15:04	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du einen Ikosaeder? edit: hier mal für alle die formeln http://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder @threadstarter: na, teilweise sollte das klar sein, oberfläche zum beispiel
14.06.2005, 16:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Anleitung zur Berechnung des Volumens: Sei a die Kantenlänge des Ikosaeders. Betrachte mal fünf Oberflächendreiecke, die an einer Spitze zusammenhängen, das seien ABF, BCF, CDF, DEF und EAF. Dann ist ABCDEF eine Pyramide, die das regelmäßiges Fünfeck ABCDE als Grundfläche hat. Ist M der Mittelpunkt dieses Fünfecks, dann ist aus Symmetriegründen $\begin{eqnarray} \overline{MF} \end{eqnarray}$ die Höhe dieser Pyramide, und diese Größe ist dann aus a bestimmbar (Trigonometrie im Fünfeck + Pythagoras). Weiter sei dann O der Mittelpunkt des Ikosaeders. Dann ist auch ABCDEO eine Pyramide über der Grundfläche ABCDE mit Höhe $\begin{eqnarray} \overline{MO}=R-\overline{MF} \end{eqnarray}$ , wobei R der Umkugelradius des Ikosaeders ist. Zusammen mit $\begin{eqnarray} \overline{AO}=\ldots=\overline{EO}=R \end{eqnarray}$ lässt sich dann auch R berechnen, schließlich daraus dann auch der Inkugelradius r, und aus dem über $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}A_Or \end{eqnarray}$ das Volumen des Ikosaeders. Dazu brauchst du noch den Oberflächeninhalt $\begin{eqnarray} A_O \end{eqnarray}$ des Ikosaeders, aber der sollte (da stimme ich LOED zu) nicht so schwierig herauszufinden sein. Alles klar?
15.06.2005, 10:01	Renée	Auf diesen Beitrag antworten »
Oktaeder Hi! Mir ist das Ikosaeder zu kompliziert. Kannst du mir das Oktaeder erklären? Wie man die Formel ableitet und so!Aber ein bisschen einfacher und ausführlicher, denn ich brauch das für Informatik! Danke
15.06.2005, 18:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nehmen wir einmal das Wikipedia-Bild. Betrachte den Punkt $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ , wo sich die drei farbigen kongruenten Rechtecke treffen. Er ist der Mittelpunkt des Ikosaeders. Dazu mußt du noch Folgendes wissen: Das Rechteck ist ein goldenes Rechteck, das heißt, die lange Seite steht zur kurzen im Verhältnis $\begin{eqnarray} \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ . Du kannst z.B. zunächst für die kurze Seite $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und die lange Seite $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ konkret die Werte $\begin{eqnarray} a = 2 \, , \ b = 1 + \sqrt{5} \end{eqnarray}$ vorgeben. Und jetzt zeichnest du von $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ aus zu allen Ecken des Ikosaeders Strecken. Ich habe das einmal für ein spezielles Randdreieck durchgeführt (gelbe Strecken). Dadurch zerfällt das Ikosaeder in 20 kongruente dreiseitige Pyramiden. Wenn eine den Inhalt $\begin{eqnarray} V_{\text{Pyr}} \end{eqnarray}$ hat, gilt also für das Volumen $\begin{eqnarray} V_{\text{Iko}} \end{eqnarray}$ des Ikosaeders: $\begin{eqnarray} V_{\text{Iko}} = 20 \cdot V_{\text{Pyr}} \end{eqnarray}$ Das Volumen einer solchen Pyramide läßt sich aber leicht bestimmen. Als Grundfläche $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nimmst du den zugehörigen Teil des türkisblauen Rechtecks. Ohne jede Rechnung sieht man, daß $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ein Viertel der Fläche des gesamten Rechtecks einnimmt. Die Rechtecksfläche kannst du aber aus $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ (siehe oben) berechnen. Und die Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ der Pyramide ist die Hälfte der langen dunkelblauen Rechteckskante. Der Rest der Rechnung sollte keine Schwierigkeiten mehr machen. Bisher hat das Ikosaeder die Kantenlänge $\begin{eqnarray} a = 2 \end{eqnarray}$ . Um nun den Fall einer beliebigen Kantenlänge $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ zu bekommen, mußt du eine Streckung mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{s}{2} \end{eqnarray}$ durchführen und beachten, daß sich dabei das Volumen mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \lambda^3 \end{eqnarray}$ multipliziert.
26.06.2005, 17:40	DiVaVi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oktaeder HAllo Leopold wir findens echt supernett,dass du uns das mit dem Ikosaeder so anschaulich erklärt hast ABER wir brauchen doch das OKTAEDER !!! Unser Lehrer meinte nämlich,das Ikosaeder wäre zu schwer für uns und wir sollten doch bitte mal versuchen,die Formeln eines Oktaeders zu erklären. Wir haben uns jetzt bei Wikipedia die Formeln geholt: Volumen V \, = \, \frac{\sqrt{2}}{3} \, a^3 \approx 0{,}47 \, a^3 Oberflächeninhalt A_O \, = \, 2 \sqrt{3} \, a^2 \approx 3{,}46 \, a^2 Umkugelradius r_u \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, a \approx 0{,}71 \, a Inkugelradius r_i \, = \, \frac{\sqrt{6}}{6} \, a \approx 0{,}41 \, a nur WAS IST EIN INKUGELRADIUS und WAS IST EIN UMKUGELRADIUS??? Wo ist denn da ne Kugel??? und das Volumen is ja eigentlich einfach 2mal das einer Pyramide,aber wie kommt man von 2(1/3Gh) auf (Wurzel2)/3a³ ?? The same with the Oberflächeninhalt: ein Oktaeder besteht aus 8 Dreicken, also 8(1/2Gh),oder nicht?Wieso steht da dann bei Oberflächeninhalt : 2wurzel3a² ??? nix kapier* Wir brauchen gaaaaaanz dringend HILFE!!!!
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26.06.2005, 17:42	DiVaVi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oktaeder HAllo Leopold wir findens echt supernett,dass du uns das mit dem Ikosaeder so anschaulich erklärt hast ABER wir brauchen doch das OKTAEDER !!! Unser Lehrer meinte nämlich,das Ikosaeder wäre zu schwer für uns und wir sollten doch bitte mal versuchen,die Formeln eines Oktaeders zu erklären. Wir haben uns jetzt bei Wikipedia die Formeln geholt: Volumen (Wurzel2)/3a³ Oberflächeninhalt 2wurzel3a² Umkugelradius wurzel2/2 a Inkugelradius wurzel6/6 a nur WAS IST EIN INKUGELRADIUS und WAS IST EIN UMKUGELRADIUS??? Wo ist denn da ne Kugel??? und das Volumen is ja eigentlich einfach 2mal das einer Pyramide,aber wie kommt man von 2(1/3Gh) auf (Wurzel2)/3a³ ?? The same with the Oberflächeninhalt: ein Oktaeder besteht aus 8 Dreicken, also 8(1/2Gh),oder nicht?Wieso steht da dann bei Oberflächeninhalt : 2wurzel3a² ??? nix kapier Wir brauchen gaaaaaanz dringend HILFE!!!!
26.06.2005, 17:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oktaeder DA steht alles drin werner

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