Stetigkeit und Diff.barkeit

14.06.2005, 16:34

aRo

Stetigkeit und Diff.barkeit

Hallo!

Wie haben seit langem jetzt mal wieder Analysis gemacht.
Und jetzt Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x) = |ln(x)-1| \end{eqnarray*}$

soll nun erstmal auf Stetigkeit und Diffbarkeit überprüft werden.

Ich weiß, wie ich die Stetigkeit und Diffbarkeit einer einer Stelle x0 überprüfe, aber wie mache ich das für einen kompletten Graphen?

Oder muss ich mich da die gefährlichen Punkte schon selber rauspicken?

Griß,
aRo

14.06.2005, 16:39

Frooke

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Es ist genau so, wie Du gesagt hast. Überprüfe zunächst den Definitionsbereich und suche damit «gefährliche Stellen». Anschliessend kannst Du Ableiten und das Verhalten der Ableitung an gefährlichen Stellen prüfen...

Du kannst ja mal hinschreiben wie weit Du gekommen bist, dann sehen wir es an... LG

(Und es wär cool, wenn Du mal Deine PN checken könntest!) smile

14.06.2005, 17:05

aRo

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herrje, ich merk schon, wie mir wieder die Übung fehlt!

also ich habe die Funktion erstmal aufgespaltet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x) - 1 \end{eqnarray*}$ für x>= e.
$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(x)+1 \end{eqnarray*}$ für x<e.

Soweit schonmal okay?

Dann habe ich die Nullstelle ausgerechnet, N(e|0). Nicht so schwer.

So, dann habe ich mich also an die gefährlichen Stellen gemacht. Ich hatte ja die Stelle x=e im Verdacht. Warum habe ich grad vergessen Augenzwinkern

Aber stimmt ja....dann habe ich mir aber mal den Graphen angeschaut und gesehen x=0 ist auch gefährlich!

Aber kann mir mal jmd erklären, warum f(x) überhaupt an x=0 existiert?!

Gruß,
aRo

14.06.2005, 18:43

Frooke

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x=e ist nicht gefährlich... Ist nur eine Nullstelle!
Bedenke, dass das Argument des Logarithmus' nicht negativ sein darf! Das ist «gefährlich»...

EDIT: Danke für die Antwort, aber ich melde mich vermutlich nochmals! Freude

14.06.2005, 18:45

Egal

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*denk* Wie war das. Verkettungen stetiger Funktionen sind wieder stetig?

14.06.2005, 20:42

etzwane

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Hier einmal ein Schaubild zu der Funktion:

14.06.2005, 21:24

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@etzwane

Bemerkenswert: Der Gnu-Plotter rechnet unverdrossen richtig weiter, auch wenn Zwischenergebnisse ins Komplexe abgleiten, wie hier: Für x<0 ist ja

$\begin{eqnarray*} |\log(x)-1| =|\log|x|+i\pi-1|=\sqrt{(\log|x|-1)^2+\pi^2} \end{eqnarray*}$ .

Nur als Erklärung, falls sich jemand über den Funktionszweig im zweiten Quadranten wundert. Augenzwinkern

14.06.2005, 21:27

Leopold

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Huch! Was ist denn das!
Da scheint unser Board-Funktionenplotter tatsächlich für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ so zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} | \ln{x} - 1 | = | \ln{(-x)} - 1 \pm \operatorname{i} \pi | = \sqrt{\left( \ln{(-x)} - 1 \right)^2 + \pi^2} \end{eqnarray*}$

Ob das wohl im Sinne des Erfinders ist?

EDIT
Da haben wohl zwei dasselbe gedacht.

14.06.2005, 21:35

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Lag ja in der Luft... Augenzwinkern

14.06.2005, 21:38

etzwane

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Danke für die Erklärungen, ich hatte mich zwar gewundert, aber dann nicht weiter darüber nachgedacht.

15.06.2005, 11:11

Frooke

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nur als Erklärung, falls sich jemand über den Funktionszweig im zweiten Quadranten wundert. Augenzwinkern

Ich war so einer smile

...

@aRo: Ich weiss nicht, ob Du den Zweig, den da Arthur erwähnt hat, ausser Acht lassen solltest, bei eine elementar-analytischen Kurvendiskussion... Auf jeden Fall wäre das der «gefährliche» Bereich, auch wenn nur die "Zwischenlösungen" komplex sind...

15.06.2005, 15:56

aRo

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ich hab mich auch sehr gewundert und mit komplexen zahlen leider noch nichts am hut.

@frooke: aber das ding dürfte doch bei x=e nicht diffbar sein, oda=?

gruß!

ps. heute weißheitszähne rausbekommen traurig

15.06.2005, 17:14

Frooke

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Genau!, weil es dort einen Knick hat! Ansonsten ist abgesehen vom gefährlichen Bereich nur noch Null eine Problemstelle... (Einfach mit Limiten untersuchen)...

16.06.2005, 14:29

aRo

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wieso denn noch 0?

kannst du mir vielelciht eine Taktik verraten, wie ich die gefährlichen Stellen finde?

Achja, nochwas:

Bei der Funktion sind ja keine Extrema nach dem üblichen Verfahren zu finden, dennoch ist (e|0) ein TP.
Wie argumentiere ich da am besten?

Gruß,
aRo

16.06.2005, 14:42

Frooke

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Zitat:

Original von aRo
wieso denn noch 0?

Weil
$\begin{eqnarray*} \ln 0 \end{eqnarray*}$
nicht definiert ist...
Ausserdem ist die Ableitung der Logarithmusfunktion
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Du siehst also, dass ln in null nicht diff.bar ist... Aber die Steigung geht gegen unendlich...
Das siehst Du ja auch am Graph der Ln-Funktion

Nun zu den «gefährlichen» Stellen. Ich würde das so machen...
- Keine Nulldivisionen
- Keine negativen Wurzeln
- Keine nichtpositiven Logarithmenargumente
- auch nicht 0^0... Das wär's eigentlich...

Und zu deinem Tiefpunkt: Du kannst sagen, dass abgesehen von (e|0) keine Werte unter null (null selber auch nicht) erreicht werden und deshalb ist (e|0) ein globaler Tiefpunkt.

EDIT: Nochwas Wichtiges! Vereinfache Funktionen für Ableitung usw. aber für den Definitionsbereich nicht! Denn eine Vereinfachung kann den Def.bereich verändern!

$\begin{eqnarray*} h(x):=\frac{x^2-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Hier ist der Definitionsbereich ID=IR \ {1}
Bei der Vereinfachung aber:
$\begin{eqnarray*} h(x):=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1 \end{eqnarray*}$
gäbe es keine Einschränkung...

Gleiches gilt für Logarithmen:
Bei
$\begin{eqnarray*} a(x):=\ln(b(x)\cdot c(x)) \end{eqnarray*}$
wäre die Einschränkung:
$\begin{eqnarray*} b(x)\cdot c(x)\stackrel{!}{>}0 \end{eqnarray*}$
Und bei
$\begin{eqnarray*} a(x):=\ln(b(x)\cdot c(x))=\ln(b(x))+\ln(c(x)) \end{eqnarray*}$
wärs
$\begin{eqnarray*} b(x) \stackrel{!}{>}0 \text{ und } c(x) \stackrel{!}{>}0 \end{eqnarray*}$
Und das muss nicht zwangsläufig aufs Gleiche rauskommen (z.B. bei b(x) und c(x) negativ => da wird das Produkt positiv)...

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