Fragen zu Mengen

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Mengen
Hi!

Gehe ich richtig in der Annahme, dass die leere Menge als offen und abgeschlossen definiert wird?

Wenn ich innere Punkte betrachte, interessiert mich dann immer nur im "Licht der Menge", z.B. ist 1 ein innerer Punkt von ?

Randpunkt: x0 ist ein Randpunkt von A, wenn und .
Bei der ersten Bedingung muss die Menge aber nicht x0 und ein zusätzliches Element enthalten. D.h. bei
ist 2 ein Randpunkt?

Reicht erstmal, danke euch!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist denke ich kein Innere Punkt von N, denn er enthält ja keine Umgebung in N die offen ist, es sei denn du zählst 0 zu N!

Gruß
Merle23 Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp, die leere Menge ist sowohl offen als auch abgeschlossen.

Bei der Frage bzgl. N.... da wäre es wichtig zu wissen welche Topologie man sich da grad auf N definiert hat.
Wenn ich einfach mal davon ausgehe, dass du mit den e-Bällen den Abstand so meinst, wie er in R normalerweise ist (also dass z.b. der 3-Ball um den Punkt 5 dann die Menge {2,3,4,5,6,7,8} ist), dann hast du auch hier Recht.
Es ist dann sogar so, dass jede Teilmenge von N sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Auch hier haste Recht, der Rand von A ist {2, 4, 5}.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe gerade, dass die Definition von innerer Punktvon A nur ein fordert, so dass .
Hatte irgendwie gedacht, da stünde Für alle epsilon...

Das müsste doch bedeuten, dass 1 auf jeden Fall ein innerer Punkt von N ist.
Damit ist N offen und abgeschlossen, richtig?
Merle23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
ich sehe gerade, dass die Definition von innerer Punktvon A nur ein fordert, so dass .
Hatte irgendwie gedacht, da stünde Für alle epsilon...

Das müsste doch bedeuten, dass 1 auf jeden Fall ein innerer Punkt von N ist.
Damit ist N offen und abgeschlossen, richtig?


Falls wir von der Topologie ausgehen, wie ich sie in meiner vorherigen Antwort angenommen hab, dann ist der 0,5-Ball um den Punkt 1 nur {1}, denn jede andere natürliche Zahl hat einen Abstand von mindestens 1 zum Punkt 1.
Und damit liegt ein kompletter Ball um die 1 in N, wodurch 1 ein innerer Punkt ist.

Die komplette Menge (in der wir das alles betrachten) ist immer sowohl offen als auch abgeschlossen.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und damit liegt ein kompletter Ball um die 1 in N, wodurch 1 ein innerer Punkt ist.


Hm liegt die Umgebung des Balles denn noch in N? Das muss doch zusätzlich gelten?!

Gruß
 
 
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der Topologie bedeutet in diesem Fall, dass wir nur natürlich Zahlen betrachten, richtig?
Muss diese Topologie jedes mal erneut definiert werden, oder gibt es da eine Standardaufnahme?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht ob Links zu anderen Webseiten gestattet sind deswegen bitte ich um Entschuldigung falls nicht!

Auf Wiki wird der innere Punkt/Rand recht gut defniert und auch erklärt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Innerer_Punkt

Gruß
Merle23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
Zitat:

Und damit liegt ein kompletter Ball um die 1 in N, wodurch 1 ein innerer Punkt ist.


Hm liegt die Umgebung des Balles denn noch in N? Das muss doch zusätzlich gelten?!

Gruß


Der Ball IST die Umgebung - und in diesem speziellen Fall besteht der Ball nur aus der 1, denn wir bewegen uns ja nur in den natürlichen Zahlen.

Zitat:
Original von aRo
das mit der Topologie bedeutet in diesem Fall, dass wir nur natürlich Zahlen betrachten, richtig?
Muss diese Topologie jedes mal erneut definiert werden, oder gibt es da eine Standardaufnahme?


Die Topologie eines Raumes legt fest, welche Mengen als offen und welche als abgeschlossen gelten.
In R gibt es eine Standart-Topologie, welche mit Hilfe solcher Bälle definiert wird (und zwar die normale Definition von offen und abgeschlossen die ihr kennt).
Wenn man aber jetzt andere Grundmengen betrachtet (z.B. die natürlichen Zahlen), dann muss man angeben wie die Topologie aussieht, denn dafür gibt es meist keine Standart-Topologien.
Wir haben in unserem Fall hier einfach die Methode mit den Bällen von R nach N übertragen. Das kann man machen. Dann kommt aber raus, dass eben jede Teilmenge von N sowohl offen als auch abgeschlossen ist in dieser Topologie von N.
So eine Topologie ist relativ ungünstig, aber..... das ist nicht Thema dieses Threads.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Das der Ball die Umgebung ist ist mir klar. Ich dachte bisher, das dieser Ball aber ebenfalls in der Umgebung von N liegen müsste, wenn man sich im Raum der reelen Zahlen befindet. Also ist das dann so, dass man sich die Grenzen des Balles in R suchen kann, aber nur die Elemente die wirklich in N zu finden sind, auch zu dieser Umgebung gehören, diese dann auch in N liegen, und wenn das nur der eine Punkt ist, hat das keine Auswirkungen für die Eigenschaft ein Innerer Punkt zu sein?!

Gruß
Merle23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin bisher immer davon ausgegangen, dass wir uns bei dieser Frage nur im Raum der natürlichen Zahlen bewegen, d.h. die reellen Zahlen "existieren nicht".
Falls die Frage aber lautet, ob 1 ein innerer Punkt der Menge N im Raum R ist, dann ist die Antwort "Nein", denn jeder Ball um den Punkt 1 enthält dann automatisch auch reelle Zahlen und kann somit nicht Teilmenge von N sein.

Zitat:
Original von aRo
Wenn ich innere Punkte betrachte, interessiert mich dann immer nur im "Licht der Menge", z.B. ist 1 ein innerer Punkt von ?


Die Wortwahl "im Licht der Menge ..." lässt mich glauben, dass er hier den Raum N meint, und nicht R.

Zitat:
Original von Roman Föll
dieser Ball aber ebenfalls in der Umgebung von N liegen müsste, wenn man sich im Raum der reelen Zahlen befindet


Das Wort Umgebung passt hier nicht. Der Ball müsste in N selber liegen.

Zitat:
Original von Roman Föll
und wenn das nur der eine Punkt ist, hat das keine Auswirkungen für die Eigenschaft ein Innerer Punkt zu sein?!


Grade weil es dann nur den einen Punkt enthält wird dieser Punkt zum inneren Punkt, denn der eine Punkt liegt ja auf jeden Fall in der Menge (da wir ja nur Punkte aus der Menge betrachten).
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

du hast meine Wortwahl richtig gedeutet.
Allerdings war der Hintergrund der Frage eher, was man denn dann normalerweise betrachtet - nur natürliche Zahlen, oder eben auch Zahlen aus R\N

Also muss bei der Frage:

Ist 1 innerer Punkt von N immer mit angegeben werden, ob man nur die natürlichen Zahlen betrachtet, oder wird das implizit angenommen?
Merle23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
du hast meine Wortwahl richtig gedeutet.
Allerdings war der Hintergrund der Frage eher, was man denn dann normalerweise betrachtet - nur natürliche Zahlen, oder eben auch Zahlen aus R\N

Also muss bei der Frage:

Ist 1 innerer Punkt von N immer mit angegeben werden, ob man nur die natürlichen Zahlen betrachtet, oder wird das implizit angenommen?


Falls du gefragt hättest "Ist 1 innerer Punkt von N?", dann hätte ich wohl den Raum R mit der üblichen Topologie zugrunde gelegt und dir geantwortet "Nein". Dann hätte ich einfach N als Menge im Raum R angenommen und nicht als Raum selbst.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder Punkt eines topologischen Raums ist ein innerer Punkt der Menge, der die Topologie zugrundeliegt.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich muss noch mal nachfragen.

Die Definition von innerer Punkt:

Der Punkt heißt innerer Punkt von A, wenn ein , so dass ist.

Das ein dürfte doch bedeuten, dass 1 immer, unter jeder Sichtweise, innerer Punkt von ist.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Die Epsilonumgebung um 1 muss ebenfalls in N liegen, gleichzeitig aber auch offen sein. Befindest du dich im topologischen Raum R und willst eine Epsilonumgebung um 1 bilden die offen ist und 1 enthält, wirst du zwangsläufig auch reele Zahlen in dieser Umgebung finden, welche nicht in N liegen (denn reele Zahlen sind nun mal nicht in N enthalten), das ist aber laut Definition erforderlich. (Dein A ist hier N und R der Topologische Raum in dem du dich befindest)

Gruß
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