Verständnis abzählbare Basis Topologie

16.01.2008, 22:43

gothino

Verständnis abzählbare Basis Topologie

Hallo Leute,

ich komm mit der Definition für AA2-Räume bzw. den metrischen Räume als Beispiel dafür nicht klar: Die Definitionen aus meiner Vorlesung lauten so

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... Menge

$\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ ... Topologie auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (X, \Gamma,) \end{eqnarray*}$ erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom oder ist ein AA2-Raum falls es eine abzählbare Basis der Toplologie $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ gibt

Basis einer Topologie wird folgendermaßen definiert:

Eine Familie $\begin{eqnarray*} B \subseteq \Gamma \end{eqnarray*}$ heißt eine Basis der Topologie $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ , falls es für jede offene Menge $\begin{eqnarray*} U \in \Gamma \end{eqnarray*}$ und jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} V \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in V \subseteq U \end{eqnarray*}$ gibt

Ich verstehe nicht worauf genau sich die Bedingung der Abzählbarkeit bezieht. Dazu das Beispiel eines metrischen Raums $\begin{eqnarray*} (M,d) \end{eqnarray*}$ :
Ich weiß dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \in U \subseteq M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U offen \end{eqnarray*}$ es eine offene Epsilon-Kugel $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x) \subseteq U \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \in \mathbb Q >0 \end{eqnarray*}$ .

Um jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gibt es also ein abzählbares Familie von Epsilon Kugeln mit rationalem Radius. Anscheinend sei das schon eine abzählbare Basis der metrischen Topologie auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} M = \mathbb R \end{eqnarray*}$ setze, dann ist die Familie aller Espilon Kugeln mit rationalem Radius um alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ aber überabzählbar, da es ja überabzählbar viele $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt. Damit ist meinem Verständnis nach aber ein Widerspruch zu obiger Definition eines AA2 Raumes.
Kann mir jemand sagen wo ich da auf der Leitung stehe verwirrt

Besten Dank und LG
gothino

16.01.2008, 23:18

20_Cent

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Du brauchst die Basis nur um die Null, da du sie dann in jeden anderen Punkt verschieben kannst. Also ist sie abzählbar.
mfG 20

16.01.2008, 23:37

gothino

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Ich verstehe nicht warum es erlaubt sein sollte die Basis einfach zu verschieben.
Z.Bsp. wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Familie der Epsilon Kugeln um 0 ist, dann werde ich für ein $\begin{eqnarray*} x \in U offen \end{eqnarray*}$ mit 0 nicht Element von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in der Familie $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ keine Epsilon-Kugel $\begin{eqnarray*} \subseteq U \end{eqnarray*}$ finden. Also sollte lt. obiger Definition meiner Ansicht nach $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ keine Subbasis sein.
lg
gothino

16.01.2008, 23:53

20_Cent

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Nein, kein Element aus der Familie, aber du findest eins, so dass $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon}+x \subseteq U \end{eqnarray*}$ .
Und soweit ich weiß reicht das dann.
mfG 20

17.01.2008, 10:00

gothino

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Nach den Beispielen die ich bisher gesehen scheint das eh zu stimmen, aber das passt m.a. nach nicht mit der Definition zusammen. Ich kann diese Definition dann nicht in Beweisen und komplizierteren Topologien anwenden wenn ich Sie nicht verstehe

z.Bsp. auch die Definition aus Wikipedia:

* Ein System B von Teilmengen eines topologischen Raumes X heißt Basis der Topologie, wenn

1. jede Menge aus B offen ist und
2. jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.

Wenn jetzt B nur die Menge der Epsilon-Kugeln mit rationalem Radius um einen bestimmten Punkt x ist, dann kann ich damit nicht jede offene Menge darstellen.

Eine abzählbare Menge von Teilmengen wäre meiner Meinung nach nur die Menge aller Epsilon-Kugeln mit rationalem Radius um alle Punkt y die in einer dichten Teilmenge von X liegen. Also kann es sein dass die von dir beschriebene Verschiebung nur für Punkte einer dicht liegenden, abzählbaren Teilmenge gilt?
lg
gothino

17.01.2008, 14:36

20_Cent

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Ich bin selber verwirrt. Vor allem, seit ich heute in einer Vorlesung den Unterschied zwischen 1. und 2. Abzählbarkeitsaxiom gesehen hab, wovon ich dachte, dass es keinen gibt.
Vielleicht hilft mal jemand anders Augenzwinkern

mfG 20

17.01.2008, 14:58

therisen

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Eine abzählbare Basis hat abzählbar viele Elemente Augenzwinkern

Betrachtet man den metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ , so ist

$\begin{eqnarray*} B:=\{(a,b)|~ a,b\in\mathbb Q \} \end{eqnarray*}$

eine abzählbare Basis der Topologie.

Gruß, therisen

17.01.2008, 17:13

gothino

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Hallo Therisen,

dann kann ich die Basis für einen metrischen Raum M mit Distanzfunktion d wie folgt definieren:

$\begin{eqnarray*} B:=\{B_{b}(a): a,b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} B_{b}(a)=\{y \in M: d(a,y)<b\} \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} B:=\{B_{b}(a): a \in \mathbb R, b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ wäre keine Basis für die Topologie?
danke und lg
gothino

17.01.2008, 17:55

therisen

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Zitat:

Original von gothino
$\begin{eqnarray*} B:=\{B_{b}(a): a,b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} B_{b}(a)=\{y \in M: d(a,y)<b\} \end{eqnarray*}$

Wie soll denn das funktionieren? Du weißt doch nicht, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subseteq M \end{eqnarray*}$ .

17.01.2008, 17:57

gothino

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ok das war ungenau; statt M gehört hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

oder wenn ich's allgemein schreiben will, statt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge die dicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt
das hab ich gemeint
lg
gothino

18.01.2008, 11:10

therisen

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Zitat:

Original von gothino
$\begin{eqnarray*} B:=\{B_{b}(a): a \in \mathbb R, b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ wäre keine Basis für die Topologie?

Doch, aber sie wäre nicht mehr abzählbar.

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