Cantorsches Diskontinuum

15.06.2005, 18:40	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
Cantorsches Diskontinuum Hallo, folgendes Problem Sei C(0)=[0,1] und C(k+1)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}[C(k)\cup (C(k)+2)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C= \bigcap C(k) \end{eqnarray}$ heißt Cantorsches Diskontinuum Es soll gezeigt werden $\begin{eqnarray} C=\frac{1}{3}[C\cup (C+2)) \end{eqnarray}$ Ich verstehe hier nicht ganz wie C(k) +2 gemeint ist. C ist ja ein Intervall. Ich würde gern erst mla nur wissen wollen was damit gemeint ist. Soll das bedeuten das die Intervallgrenzen verschoben werden?
15.06.2005, 18:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} C+2 \end{eqnarray}$ ist eine saloppe Kurzform für die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ x+2 \bigm\| x\in C\right\} \end{eqnarray}$ . Oder in Worten: Die gesamte Menge C wird um 2 Einheiten auf der reellen Achse nach rechts verschoben. Ähnlich verhält es sich mit der Menge $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}A := \left\{ \frac{1}{3}x \bigm\| x\in A\right\} \end{eqnarray}$ die du dann später noch brauchst.
15.06.2005, 19:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich noch das folgende Bild beisteuern? Es zeigt den "Cantoranstieg", eine im Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ stetige Funktion, die monoton von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ansteigt. Sie ist genau an den Stellen des Cantorschen Diskontinuums nicht differenzierbar. An allen Stellen der Differenzierbarkeit hat sie aber die Steigung 0. Ist das nicht verrückt? Und hier noch die rekursive Definition, mit der ich auch den Graphen gezeichnet habe: $\begin{eqnarray} \operatorname{Cantor}(x) = \begin{cases} \ 1 - \operatorname{Cantor}(1-x) \ , & \text{falls} \ \frac{2}{3} < x \leq 1 \\ \ 0 \ , & \text{falls} \ x = 0 \\ \ \frac{1}{2} \operatorname{Cantor}(3x) \ , & \text{falls} \ 0 < x < \frac{1}{3} \\ \ \frac{1}{2} \ , & \text{falls} \ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3} \end{cases} \end{eqnarray}$
15.06.2005, 19:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich unter dem reißerischen Namen Cantorsche Teufelsstiege kennengelernt. Ist in der Stochastik ein schönes Beispiel für eine stetige Verteilungsfunktion, die aber nicht absolutstetig ist (d.h. mit existenter Dichte).
15.06.2005, 19:47	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das hab ich jetzt verstanden. Jetzt weis ich aber nicht so richtig wie ich die Formel für C beweisen soll. Ist da Induktion der richtige Weg? Ich hab bisschen probiert, hab aber keinen erfolgversprechenden Ansatz gefunden.
15.06.2005, 19:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie so oft bei Mengengleichheit zeigt man das in zwei 2 Teilschritten: a) $\begin{eqnarray} C\subseteq \frac{1}{3}[C\cup (C+2)) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} C\supseteq \frac{1}{3}[C\cup (C+2)) \end{eqnarray}$
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15.06.2005, 20:14	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
danke. das hat geholfen

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